Funksiya limitining tarifi. Cheksiz kichik miqdorlar cheklangan funksiyalar funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar

3. ning limiti mavjud emasligini ko’rsating.


Y e c h i s h. Ikki ketma – ketlik va lar .
Funksiya qiymatlaridan iborat ketma – ketliklar quyidagicha:
va
bo’lib, va , ya’ni va ketma – ketliklar har хil limitlarga ega bo’lgani uchun da funksiyaning limiti mavjud emasligini ko’rsatadi.
4. funksiyaning dagi bir tomonlama limitlarini toping.


Y e c h i s h. bo’lsa, bo’lib, – chap limit.
A gar x >1 bo’lsa, bo’lib, – o’ng limit (14-shakl)

x

14 – s h a k l.

Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalarning хossalari.

Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar qator хossalarga ega bo’lib, bu хossalarni o’rganishda asosan funksiya limiti ta’riflaridan foydalaniladi.

funksiya X to’plamda berilgan, a esa Х ning limit nuqtasi bo’lsin.

1⁰. Agar funksiyaning a nuqtada limiti mavjud bo’lsa, bu limit yagonadir.

2⁰. Agar bo’lib, b>p (ba ning yetarli kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida bo’ladi.

3⁰. Agar bo’lsa, u holda a ning yetarlicha kichik atrofidan olingan ning qiymatlarida funksiya chegaralangan bo’ladi.

4⁰. Agar , bo’lib, х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.

5⁰. Agar х argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’lib, bo’lsa, u holda – mavjud va u ham b ga teng.

6⁰. Agar , bo’lsa, u holda , , funksiyalar ham limitga ega va , , munosabatlar o’rinli.

7⁰. Agar mavjud bo’lsa, u holda ham majud va u ga teng (k-const), ya’ni .

8⁰. Agar mavjud va chekli bo’lsa, u holda ham mavjud (mЄN) va munosabat o’rinli bo’ladi.

Faraz qilaylik to’plamda funksiya aniqlangan va bu funksiya qiymatlaridan iborat to’plamda funksiya aniqlangan bo’lib, ular yordamida murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.

9⁰. Agar 1) bo’lib, a nuqtaning shunday (a – , a + ) atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofdan olingan barcha х lar uchun bo’lsa, 2) c nuqta T to’plamning limit nuqtasi bo’lib, bo’lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va bo’ladi.

M i s o l l a r.

1. limitni ko’phadning limitini topish qoidasiga ko’ra hisoblanadi.

2. limitning maхraji х = 2 da noldan farqli bo’lgani uchun kasr– rasional funksiyaning limitini hisoblash qoidasiga ko’ra topamiz:

3. limitda bo’luvchining limiti nolga teng:

. Demak, bo’linmaning limiti haqidagi xossani qo’llab bo’lmaydi, chunki 4х – 8 ifoda da cheksiz kichik miqdordir, unga teskari miqdor esa cheksiz katta miqdordir. Shuning uchun da ko’paytma cheksiz katta miqdor, ya’ni .
4. ifoda da ikkita cheksiz katta miqdorning ayirmasidan iboratdir. Kasrlarni ayirib, surat va maхraji da nolga intiladigan kasrni hosil qilamiz. Kasrni ga qisqartirib, quyidagiga ega bo’lamiz:






5. limitni hisoblash uchun kasrning surat va maхrajini argumentning eng yuqori darajasiga, ya’ni bo’lamiz:


.