Funksiya qavariqligi. Egilish nuqtasi Funksiya asimptotalari

Funksiyaning х0 и х1

nuqtalardagi qiymatlari mos ravishda

maksimum va minimumi deyiladi.

Funksiyaning maksimum va minimum

nuqtalarini funksiyaning ekstremum

nuqtalari deyiladi.

max

min

max

Funksiya hosilasi mavjud bo’lmagan nuqtada ham max va min nuqtalari bo’lishi mumkin.

Masalan,

nuqtada minimumga erishadi

Lekin bu nuqtada funksiyaning hosilasi mavjud emas.

Funksiya biror nuqtada ekstremumi ega bo’lishi

uchun bu nutada hosilasi nolga teng bo’lishi

yoki hosila mavjud bo’lmasligi kerak .

Ekstremumga ega bo’lishning

zaruriy sharti:

Ekstremumning zaruriy shartini

bajaruvchi nuqtalarga funksiyaning kritik

nuqtalari deyiladi .

Ekstremum nuqtalarni kritik nuqtalar ichidan izlash kerak.

Kritik nuqtalar hammmasi ekstremum nuqta bo’lavermaydi.

Agar funksiya hosilasi х0 nuqta atrofida

Ishorasini + dan – ga o’zgartirsa bu nuqta max

nuqta bo’ladi; - dan + ga o’zgartirsa bu nuqta

min nuqta bo’ladi;

Ekstremumning

1- yetarli sharti

da uzluksiz

ekatremumning

2-yetarli sharti:

hosilasi va

hosilaga ega bo’lsin

va

minimum

1)

2)

va

maksimum

3. Funksiya qavariqligi.

Egilish nuqtasi.

f(x) funksiyaning grafigi (a,b) oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan pastda yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda qavariq deyiladi.

f(x) funksiyaning grafigi (a,b) oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda botiq deyiladi.



ТЕОРЕМА.

Funksiya X oraliqda qavariq (botiq) bo’lishi

uchun birinchi tartibli hosila bu oraliqda

monoton kamayuvchi (o’suvchi ) bo’lishi

zarur va yetarli.

Funksiya grafigining qavariq qismini, botiq qismidan ajratuvchi nuqta egilish nuqtasi deyiladi.

Teorema. f(x) funksiya (a,b) intervalda

berilgan bo’lib, shu intervalda ikkinchi tartibli

hosilaga ega bo’lsin.

1)Agar intervalda funksiyaning ikkinchi tartibli

hosilasi musbat, bo’lsa, funksiya grafigi

intervalda botiq bo’ladi,

2)Agar intervalda funksiyaning ikkinchi tartibli

hosilasi manfiy bo’lsa, funksiya grafigi

intervalda qavariq bo’ladi.

Teorema

ТЕОРЕМА

Zaruruy shart

Egilish nuqtasi х0 da ikkinchi tartibli hosila nolga teng:

Egilish

nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti.

Nuqta funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa, bu nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.

.

4. Funksiya asimptotalari

Funksiya grafigidagi nuqta shu grafik

bo’ylab cheksiz uzoqlashganda, undan

biror to’g’ri chiziqqacha masofa no’lga

intilsa, bu to’g’ri chiziq funksiya

grafigining asimptotasi deyiladi.

Vertikal asimptota

Gorizontal asimptota

Og’ma asimptota

ТЕОРЕМА.

bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasi bo’ladi.

ТЕОРЕМА.



y=kx+b to’g’ri chiziq funksiya grafigining og’ma asimptotasi bo’ladi.

k=0 bo’lsa y=b gorizontal asimtota bo’ladi.

Funksiya grafigini qurish sxemasi

• funksiyaning aniqlanish sohasini topish hamda argumentning aniqlanish sohasi chetlariga intilganda funksiya o’zgarishini tekshirish;
• funksiyaning juft-toqligini tekshirish;
• funksiyaning davriyligini aniqlash;
• funksiyaning uzluksizligi, uzilishini tekshirish;
• funksiyaning kritik nuqtalarini aniqlash;
• funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumini tekshirish;

ikkinchi tur kritik nuqtalarni topish;

• ikkinchi tur kritik nuqtalarni topish;
• funksiya grafigining qavariqlik, botiqlik oraliqlarini va egilish nuqtalarini aniqlash;
• funksiya grafigining asimtotalarini tekshirish;
• imkoniyati bo’lsa funksiya grafigining koordinat o’qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlash;
• yuqoridagi aniqlangan xususiyatlarni hisobga olib, funksiya grafigini yasash.

Misol.

Найти асимптоты графика функции

Misol.