Funksiya tushunchasi. Funksiya limitini hisoblash

Taʻrif. Agar ixtiyoriy x uchun f(-x)=-f(x) shart bajarilsa, u holda y=f(x) toq funksiya deyiladi. Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik boʻladi.

Taʼrif. Agar shunday T musbat son mavjud boʻlsaki, x ning har qanday qiymatida f(x+T)=f(x) tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda f(x) funksiyaga davriy funksiya deyiladi. T-ga funksiyaning davri deyiladi.

Funksiyaning eng kichik davri deb shunday musbat songa aytiladiki, ixtiyoriy x uchun f(x+)= f(x) shart bajariladi, shuni eʼtiborga olish kerakki f(x+)= f(x) boʻladi va bunda k-ixtiyoriy butun son.

FUNKSIYALARNI BERILISH USULLARI

I. Funksiya jadval koʻrinishda berilishi mumkin.

Ushbu usulda maʼlum tartibda - argumentlar qiymatlari va ularga mos ravishda funksiyaning qiymatlari yozib olinadi. Masalan metereologik maydonchada kun davomida temperaturani yozib borish natijasida olingan jadval, T – temperaturani t vaqtga bogʻliqlik funksiyasining jadval koʻrinishiga misol boʻladi.

II. Funksiyani grafik usulda berish mumkin.

Agar dekart koordinatalar sistemasida qandaydir M(x;y) nuqtalar toʻplami berilgan boʻlib, hech qanday ikkita nuqta OY oʻqiga parallel toʻgʻri chiziqda yotmasa, u holda bu nuqtalar toʻplami qandaydir bir qiymatli y=f(x) funksiyani aniqlaydi. Nuqtalarning abssissalari funksiyaning argumentlari, ordinatalari esa funksiyaning qiymatlari boʻladi. XOY tekisligidagi bunday nuqtalar toʻplami funksiyaning grafigi deyiladi.

III. Funksiyani analitik usulda berish.

Bunday usulda y ni x ga bogʻliqlik koʻrinishlari formulalar orqali beriladi. Masalan ; , …

_{Matematik analizda funksiyani biror nuqta atrofida o}ʻzgarishini oʻrganishda funksiyani shu nuqtadagi limiti katta ahamiyatga ega. Bizga ma’lumki _{fazoda nuqtaning atrofi bu markazi nuqtada uzunligi ga teng boʻlgan interval ya’ni .}

funksiya biror toʻplamda aniqlangan boʻlib, nuqta V toʻplamning chegaraviy (limit) nuqtasi boʻlsin. nuqta toʻplamga tegishli boʻlishi ham, tegishli boʻlmasligi ham mumkin. Funksiya limitining ikkita teng kuchli Koshi (tilida) va Geyne (sonlar ketma-ketlik tilida) ta’rifi mavjud.

1-ta’rif (Koshi). Agar ixtiyoriy shunday (umuman bogʻliq) soni mavjud boʻlib, barcha qanoatlantiruvchi lar uchun tengsizlik oʻrinli boʻlsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi, u quyidagicha yoziladi yoki da .

2-ta’rif (Geyne). Agar toʻplamga tegishli, soniga yaqinlashuvchi ixtiyoriy sonli ketma-ketlik uchun funksiyaning bu sonlarga mos qiymatlaridan tashkil topgan sonli ketma-ketlik soniga intilsa, soni funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan ta’riflardan birini qoʻllab ekanligini hamda limitlarni mavjud emasligini isbotlash mumkin.

Limitga ega funksiyalar oʻzlarining quyidagi xossalari bilan xarakterlanadi:

1. 
   funksiya da limitga ega boʻlsa, ushbu limit yagonadir;
   
2. 
   funksiya da chekli limitga ega boʻlsa, nuqtaning atrofi mavjudki, toʻplamda funksiya chegaralangan boʻladi.
   
3. 
   Agar boʻlsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiyaning ishorasi sonning ishorasi bilan bir хil boʻladi.
   
4. 
   Agar , boʻlsa, u holda biror oraliqda funksiya chegaralangan boʻladi.
   
5. 
   Agar biror son va barcha lar uchun tengsizlik oʻrinli boʻlib, boʻlsa, u holda boʻladi.
   
6. 
   Agar biror son va barcha lar uchun tengsizlik oʻrinli boʻlib, tenglik oʻrinli boʻlsa boʻladi.
   

funksiya biror bir nurda aniqlangan boʻlsin.