Funksiyanıń úzliksizligi Joba

5. Segmentte úzliksiz funksiyalardıń ózgeshelikleri

Weierstrass teoremasi. Eger funkciya segmentte úzliksiz bolsa, ol bul segmentte óziniń maksimal hám minimal bahalarına etedi.
Nátiyje. Eger funkciya segmentte úzliksiz bolsa, ol segment menen shegaralanadı.

Bolzano-Koshi teoremasi. Eger funkciya y=f (x) segmentinde úzliksiz [ a; b] hám aqırında teń bolmaǵan bahalardı aladı f (a) =A hám f (b) =B,, keyin qanday nomer bolıwınan qaramastan BILAN ortasında dúzilgen A hám v, noqat bar sol sıyaqlı f (c) =C.
Geometriyalıq tárepten teorema anıq. Hár qanday nomer ushın BILAN ortasında dúzilgen A hám v, bul segment ishinde sonday bir noqat bar f (BILAN) =C... Streyt da=BILAN funksiya grafigini keminde bir noqat menen kesiwedi.
Nátiyje. Eger funkciya y=f (x) segmentinde úzliksiz [ a; b] jáne onıń aqırında, keyininen segment ishinde [ túrli belgilerdiń bahaların aladı. a; b] keminde bir noqat bar menen qaysı funkciya y=f (x) joǵaladı : f (c) =0.
Geometriyalıq teoremaning mánisi: úzliksiz funksiya grafigi o'qning bir tárepinen o'tsa Oh ekinshisine, keyin ol o'qni kesip ótedi Oh.
Tariyp. f (x) funksiya qanday da aralıqta anıqlansin hám x 0 bul intervaldıń noqatı bolsın. Eger, ol halda f (x) x 0 noqatda úzliksiz dep ataladı.
Tariypdan kelip shıǵadıki, biz úzliksizlik haqqında tek f (x) anıqlanǵan noqatlarǵa salıstırǵanda sóylewimiz múmkin (funksiya shegarasın anıqlawda bunday shárt qoyılmaǵan ). Úzliksiz funkciyalar ushın, yaǵnıy f hám lim commute ámelleri. Funkciyanıń noqat daǵı shegarasınıń eki tariypiga kóre, úzliksizliktiń eki tariypini beriw múmkin - " izbe-izlikler tilinde" hám " teńsizlikler tilinde" (e-d tilinde). Bunı ózińiz etiwińiz usınıs etiledi.
Ámeliy paydalanıw ushın geyde ósiwler tilinde úzliksizlikti anıqlaw qolaylaw bolıp tabıladı.
Dx = x-x 0 ma`nisi argumentning ósiwi dep ataladı hám Dy = f (x) -f (x 0) - x 0 noqattan x noqatqa ótiwde funkciyanıń ósiwi.
Tariyp. f (x) noqat x 0 noqatda anıqlansin. Eger f (x) funksiya x 0 noqatda úzliksiz dep ataladı, eger bul noqat daǵı argumentning sheksiz kishi ósiwi funksiyanıń sheksiz kishi ósiwine, yaǵnıy Dx → 0 bolǵan Dy → 0 ge tuwrı kelse.
№1 mısal. y = sinx funksiyası x dıń qálegen ma`nisi ushın úzliksiz ekenligin tastıyıqlang.
Sheshim. X 0 qálegen noqat bolsın. Oǵan Dx artpaqtasın berip, x = x 0 + Dx noqatın alamız. Ol halda Dy = f (x) -f (x 0) = sin (x 0 + Dx) -sin (x) =... alamız.
Tariyp... y = f (x) funkciyası eger ońındaǵı (chapda) x 0 noqatda úzliksiz dep ataladı. Ishki noqatda úzliksiz bolǵan funksiya bir waqtıniń ózinde oń hám shep tárepte úzliksiz boladı. Bunıń hákisi de tuwrı : eger funkciya shep hám ońındaǵı noqatda úzliksiz bolsa, ol halda bul noqatda úzliksiz boladı. Biraq, funksiya tek bir tárepte úzliksiz bolıwı múmkin. Mısalı, ushın,, f (1) = 1, sol sebepli bul funkciya tek shep tárepte úzliksiz bolıp tabıladı (joqarıdaǵı 5. 7. 2-bólimdegi bul funkciyanıń grafigiga qarang).
Tariyp. Funkciya qaysı bolıp tabıladı aralıqta úzliksiz dep ataladı, eger ol sol aralıqtıń hár bir noqatında úzliksiz bolsa.
Atap aytqanda, eger interval segment bolsa, onıń úshlerinde bir tárepleme úzliksizlik qabıl etiledi.

Úzliksiz funksiyalardıń ózgeshelikleri

1. Barlıq elementar funksiyalar anıqlanıw tarawı boyınsha úzliksiz bolıp tabıladı.
2. Eger qaysı bolıp tabıladı aralıqta berilgen f (x) hám ph (x) bul aralıqtıń x 0 noqatında úzliksiz bolsa, bul noqatda funksiyalar da úzliksiz boladı.
3. Eger X den x 0 noqatda y = f (x) úzliksiz hám Y den sáykes keletuǵın y 0 = f (x 0) noqatda z = ph (y) úzliksiz bolsa, kompleks funksiya z = ph boladı. (f (x )) x 0 noqatda úzliksiz boladı.

Funksiya úzilisleri hám olardıń klassifikaciyası

f (x) funksiyanıń x 0 noqat daǵı úzliksizligi belgisi teńlik bolıp, ol ush shártning bar ekenligin ańlatadı :
1) f (x) x 0 noqatda anıqlanadı ;
2) ;
3).
Eger bul talaplardan keminde birewi buzilsa, x 0 funksiyanıń úzilis noqatı dep ataladı. Basqasha etip aytqanda, úzilis noqatı bul funkciya úzliksiz bolmaǵan noqat bolıp tabıladı. Úzliksizlik noqatlarınıń tariypidan kelip shıǵadıki, funkciyanıń úzilis noqatları :
a) f (x) úzliksizlik ózgeshelikin joǵatatuǵın funksiya tarawına tiyisli noqatlar ;
b) f (x) anıqlanıw tarawına tiyisli bolmaǵan noqatlar, olar funksiyanıń anıqlanıw salasınıń eki intervalınıń qońsılas noqatları.
Mısalı, funkciya ushın x = 0 noqat úzilis noqatı bolıp tabıladı, sebebi bul noqat daǵı funkciya anıqlanbaǵan hám funkciya f (x) salasınıń eki aralıǵı (-∞, 1) hám (1, ∞) ushın qońsılas bolǵan x = 1 noqatında úziliske iye hám joq.
Tánepis noqatları ushın tómendegi klassifikaciya qabıl etiledi.
1) Eger x 0 noqatda chekli bolsa hám, lekin f (x 0 +0) ≠ f (x 0 -0), ol halda x 0 dep ataladı. birinshi túrdegi úzilis noqatı, bir waqtıniń ózinde olar qońıraw qılıwadı sekrew funkciyası.
2-mısal. Funkciyanı kórip shıǵıń
Funkciya tek x = 2 noqatda úzliksiz bolıwı múmkin (basqa noqatlarda ol hár qanday kóp aǵzalılar sıyaqlı úzliksiz bolıp tabıladı).
Tabıń,... Bir tárepleme shegaralar sheklengen, lekin bir-birine teń emesligi sebepli, x = 2 noqatda funkciya birinshi túrdegi úziliske iye. itibar beriń, bul, sol sebepli bul noqat daǵı funkciya ońında úzliksiz bolıp tabıladı (2-súwret).
2) Ekinshi túrdegi úzilis noqatları - bir tárepleme shegaralardan keminde birewi ∞ ga teń yamasa ámeldegi bolmaǵan noqatlar.

3-mısal. y = 2 1 / x funkciyası x = 0 den tısqarı x dıń barlıq bahaları ushın úzliksiz bolıp tabıladı. Keling, bir tárepleme shegaralardı tapaylik:,, sonday eken, x = 0 ekinshi túrdegi úzilis noqatı bolıp tabıladı (3-súwret).

3) x = x 0 noqat dep ataladı alınatuǵın úzilis noqatı eger f (x 0 +0) = f (x 0 -0) ≠ f (x 0) bolsa.
Boslıq bul noqatda, sazlawda funkciya ma`nisin ózgertiw (qayta belgilew yamasa qayta belgilew) etarli bolǵan mániste " joq etiledi" hám funksiya x 0 noqatında úzliksiz boladı.
4-mısal. Ekenin aytıw kerek, jáne bul shegara x dıń nolge umtılıw jolına baylanıslı emes. Lekin x = 0 noqat daǵı funksiya anıqlanbaǵan. Eger funkciya tariypini f (0) = 1 ni ornatıw arqalı keńeytirsak, ol halda bul noqatda úzliksiz bolıp shıǵadı (basqa noqatlarda sinx hám x úzliksiz funkciyalarınıń bólimi retinde úzliksiz bolıp tabıladı).
5-mısal. Funksiyanıń úzliksizligin tekseriw.
Sheshim. y = x 3 hám y = 2 x funkciyaları balshıq jerde, sonday-aq kórsetilgen aralıqlarda da anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp tabıladı. Biz x = 0 aralıqlarınıń tutasıw noqatın tekseremiz:,,. Biz sonı alamız, sonnan kelip shıǵadıki, x = 0 noqatda funkciya úzliksiz bolıp tabıladı.
Tariyp. Birinshi túrdegi úzilis noqatlarınıń sheklengen sanı yamasa alınatuǵın úzilisler bunnan tısqarı, intervalda úzliksiz bolǵan funksiya bul aralıqta bólekshe úzliksiz dep ataladı.