Funksiyaning monotonligi va funksiyaning ekstremumlari

2. Funksiya ekstremumini
Aytaylik funksiya intervalda aniqlangan va bo‘lsin.
Ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda nuqta funksiyaning maksimum ( minimum ) nuqtasi, esa funksiyaning maksimumi ( minimumi ) deb ataladi.
T a’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu atrofdan olingan ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada qat’iy maksimumga ( minimumga ) ega deyiladi. 3-rasm
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning ekstremum nuqtalari, maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning ekstremumlari deb ataladi. Shunday qilib, agar maksimum (minimum) bo‘lsa, u holda funksiyaning nuqtaning kichik atrofida qabul qiladigan qiymatlarning eng
kattasi (eng kichigi) bo‘ladi, ya’ni funksiya ekstremumi lokal xarakterga ega. Bundan funksiya ekstremumi u aniqlangan sohada eng katta yoki eng kichik qiymati bo‘lishi shart emasligi kelib chiqadi.
Shuningdek, funksiya intervalda bir qancha maksimum va minimumlarga ega bo‘lishi, maksimum qiymati uning ba’zi bir minimum qiymatidan kichik bo‘lishi ham mumkin. Masalan grafigi 3–rasmda ko‘rsatilgan funksiya uchun nuqtada lokal maksimum, nuqtada lokal minimum mavjud bo‘lib, tengsizlik o‘rinli.


Ekstremumning zaruriy sharti.
Funksiya hosilalari yordamida uning ekstremum nuqtalarini topish osonlashadi.
Avval ekstremumning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar funksiya nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.
Isboti. Faraz qilaylik funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U holda x₀ nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan olingan uchun bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda
<0
tengsizlik, agar bo‘lsa, u holda
>0
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi ravshan.
Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning da limiti mavjud bo‘lsa, u holda
= = bo‘ladi.
Agar funksiyaning chap va o‘ng hosilalari nolga teng bo‘lsa, u holda funksiya hosilasi mavjud va nolga teng bo‘ladi.
A gar va lar noldan farqli bo‘lsa, ravshanki
bo‘lib, mavjud bo‘lmaydi.
Funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi. ¹ 4-rasm
Misol. Ma’lumki, funksiyaning da hosilasi mavjud emas. Bu funksiya ² nuqtada minimumga ega (I bob,
2-§. 2-rasmga qarang).
Misol. bo‘lsin. , bo‘lgani uchun nuqtada funksiyaning ham hosilasi mavjud emas. Ammo bu funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lishi ravshandir.