Funksiyaning monotonligi va funksiyaning ekstremumlari

Ekstremumlarni ikkinchi hosila yordamida tekshirish
Ba‘zi hollarda funksiyaning ekstremumlarini uning ikkinchi hosilasi yordamida tekshirish qulay bo’ladi.
Faraz qilaylik funksiyaning hosilasi nuqtada nolga aylansin, ya’ni va funksiya shu nuqtada hamda uning biror atrofida ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lib, bo’lsin.
Teorema(ekstremum mavjudligining ikkinchi yetarlilik sharti).
Agar bo’lsa funksiya kritik nuqtada maksimumga ega bo’ladi, bo’lganda у kritik nuqtada minimumga ega bo’ladi.
Isboti. Aniqlik uchun bo’lsin. funksiya kritik nuqtada maksimumga ega ekanligini ko’rsatamiz. Ikkinchi hosilaning ta‘rifiga binoan:
.
Shartga ko’ra bo’lgani uchun
.
Ammo . Shuning uchun
.
limiti manfiy ifodaning o’zi ham kichik lar uchun manfiy bo’lganligi sababli

bo’ladi.
bo’lsin, u holda ; agarda bo’lsa, u holda . Bu kritik nuqtaning chap tomonidan o’ng tomoniga o’tishda hosila ishorasini plyusdan minusga o’zgartirishini ko’rsatadi. Demak, ekstremum mavjudligining birinchi yetarlilik shartiga ko’ra funksiya nuqtada maksimumga ega.
Teoremaning ikkinchi qismi ham shunga o’xshash isbotlanadi.
Ekstremumlar nazariyasining masalalar yechishga tadbiqi
Ekstremumlar nazariyasi yordamida geometriya, mexanika va hakozolarga doir ko’pgina masalalar yechiladi. Shunday masalalarning ba‘zilarini yechish usuli bilan tanishamiz. ³
Masala. Uzunligi 120 metrlik panjara bilan bir tomondan uy bilan chegaralangan eng katta yuzga ega to’g’ri to’rtburchak shaklidagi maydon o’rab olinishi kerak. To’g’ri to’rtburchakli maydonning o’lchovlari (bo’yi va eni) aniqlansin.
Yechish. Maydonning uzunligini х, enini у, yuzini S orqali belgilaymiz. U holda to’g’ri to’rtburchakning yuzini topish formulasiga ko’ra maydonning yuzi bo’ladi.
S yuz hozircha ikkita erkli o’zgaruvchilar va ga bog’liq. Ulardan birortasini ikkinchisi orqali ifodalash uchun masalaning shartidan foydalanamiz. Shartga ko’ra maydonning bir tomoni tayyor uy (devor) bilan, qolgan uch tomoni uzunligi 120m panjara bilan chegaralanishi lozim, ya‘ni . Bundan kelib chiqadi. ning ushbu qiymatini yuzni topish formulasiga qo’yamiz. U holda bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi hosil bo’ladi. Endi shu funksiyaning eng katta qiymatini topamiz.
, ,
yoki dan yagona kritik nuqta kelib chiqadi.
bo’lgani uchun ikkinchi yetarlilik shartga ko’ra qiymatda funksiya maksimumga ega. Bu yagona maksimum uning eng katta qiymati ham bo’ladi. Shunday qilib bir tomoni uy bilan qolgan uch tomoni 120 m uzunlikdagi panjara bilan chegaralangan to’rtburchak shaklidagi maydonlar orasida eni , bo’yi (uzunligi) m bo’lgan maydon eng katta yuzga ega bo’lar ekan.