Funksiyaning

3-misol. 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥funksiyaning 𝑑𝑦va 𝑑²𝑦larni toping, 𝑥erkli oʻzgaruvchi. 𝑑𝑦=𝑦^′𝑑𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝑑²𝑦=𝑦^′′𝑑𝑥²=−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥².
4-misol. 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥murakkab funksiyaning 𝑑𝑦va 𝑑²𝑦larni toping, 𝑥=𝑙𝑛𝑡. 𝑑𝑦=𝑦^′𝑑𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥∙^𝑑𝑡=−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,chunki ^𝑑𝑡=𝑑𝑥
𝑑²𝑦=𝑑(𝑑𝑦)=𝑦^′′𝑑𝑥²+𝑦^′𝑑²𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥∙(^𝑑𝑡)2+𝑠𝑖𝑛𝑥∙^𝑑𝑡2 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥²−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑²𝑥, chunki (¹∙𝑑𝑡)2=𝑑𝑥²,(−^𝑑𝑡2)=𝑑²𝑥.
Shunday qilib, 𝑑²𝑦=−𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑑𝑥²−𝑠𝑖𝑛𝑥∙𝑑²𝑥 formula oʻrinli.

Differensiallanuvchi funksiyalarning xususiyatlarini ochib beruvchi va ularni tekshirishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan ba’zi teoremalar bilan tanishib chiqamiz.
1-teorema (Roll teoremasi). y f ( x) funksiya a;b kesmada aniqlangan va
^{uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya} ^{a; b} ^{intervalda differensiallanuvchi bo’lib, f (a ) f (b) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda} ^{a; b} ^{intervalga tegishli hech}
bo’lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, unda f ^(c ) 0 bo’ladi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, teorema shartlari bajarilganda, y f ( x) funksiya grafigining AB yoyiga tegishli bo’lgan hech bo’lmaganda bitta
nuqta (1–rasmda ikkita D va E nuqtalar) topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma O x abssissalar o’qiga parallel bo’ladi.
Teoremaning har bir sharti muhim ahamiyatga ega. Chunki ulardan biri ^bajarilmasa, ^{a; b} ^{intervalda f '(c) 0 tenglikni qanoatlantiruvchi c nuqta} topilmasligi mumkin.

y D y y

A B A B A B E

O a b x O a a₁ b x O a a ₂ b x

1-rasm. 2-rasm 3-rasm.

Masalan, 2–rasmda grafigi keltirilgan funksiya uchun uzluksizlik sharti bajarilmagan, a₁ nuqta uning uzilish nuqtasi. Shu sababli f '(c) 0 tenglikni qanoatlantiruvchi _c nuqta topilmaydi. 3–rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuvchi sharti bajarilmagan, ya’ni a ₂ nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Demak, a ₂ nuqtada bu egri chiziqqa urinma o’tkazib bo’lmaydi.

^{Bu egri chiziqlarga tegishli va} ^{a; b} ^{interval doirasida urinmalari O x o’qiga}
parallel bo’ladigan biror-bir nuqta mavjud emas.
2-teorema (Lagranj teoremasi). Agar y f ( x) funksiya a;b kesmada
aniqlangan va uzluksiz bo’lib, a;b intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda a;b intervalga tegishli kamida bitta shunday c nuqta topiladiki, uning uchun
f (b) f (a ) f '(c)(b a )
munosabat o’rinli bo’ladi.
Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyadan [a;b] kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Bu teoremadan, xususan, f (a ) f (b) holda, f '(c) 0 ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda Lagranj
teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, uning har bir sharti o’rinli bo’lganda, y f ( x) funksiya grafigining AB yoyga tegishlihechbo’lmaganda bitta
(4 – rasmda ikkita D va E ) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma AB vatarga parallel bo’ladi.

y

E B
A
O a c₁ c ₂ b x

D

4-rasm.

^Agar b a x almashtirish kiritsak, _c nuqtani ^{c a }^{b a} ^{a x} ^^0;1^{ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar bu}
almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi
f (a x) f (a ) f '(a x)x (5)
shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.

n
3-teorema (Koshi teoremasi). Agar f ( x ) va g ( x ) funksiyalar [a;b] kesmada uzluksiz va a;b intervalda chekli f '( x) va g '( x ) hosilaga ega bo’lib
^{g ( x ) 0 , x }^a;b ^{bo’lsa, u holda kamida bitta shunday c }^a;b ^{nuqta topiladiki}

f (b) f (a) _g (b) g (a)
f 'c 
g 'c 

(6)

tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu formula Koshi formulasi deyiladi.
Lagranjformulasi Koshiformulasiningxususiyholibo’lib, Koshiformulasida g ( x) x bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi.





1-masala. 1) f (x) x 2 2 va g (x) x3 1 funksiyalar uchun 1; 2kesmada Koshi teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va _c nuqtani toping.
^{Yechimi. 1; 2kesmada f ( x ) va g ( x ) funksiyalar uzluksiz va f '}^x ^{2 x,}
g '(x) 3x² 0 chekli hosilalar mavjud.
f (b) 6, f (a ) 3; g (b) 7, g (a ) 0 ,


2
³  ² 9c 14 c ¹⁴ . 7 3c 9

4-teorema. Agar y f ( x) funksiya x a nuqtaning biror bir atrofida aniqlangan va shu atrofda f '( x), f ''( x), ..., f ^n ^( x), f ^n 1^( x) hosilalarga ega
bo’lsa, u holda bu atrofga tegishli har bir _x uchun Teylor formulasi:

^{f ( x) f (a ) f '(a )} ^{x a} ^{f ''(a)} ^{x a} 2 ^{... }
1! 2! o’rinli bo’ladi.
Bu yerda

n
_{R x} _f ^n 1 ^a x a _{x a n 1}
n 1 !
^f n ^(a) ( x a )ⁿ R ( x), n!

(7)

Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi. Agar (3) da x a x almashtirish bajarsak, Teylor formulasi

_{f (a x) f (a) }^{f '}^a _{x }1!


^{f ''(a)} ^x 2 ^{... }
2!
^f n ^(a) ^x n ^
n!
f ^n 1^(a x) n 1
^{n 1}^!

^ko’rinishni oladi va u Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb ^{ataladi. Bu yerda }^{0; 1}^.
Agar Teylor formulasida a 0 bo’lsa, u holda

f ( x) f (0) ^{f '(0)} x 1!


^{f ''}⁰ _{x 2 ... }2!
^{f }n ^⁰ _{x n }n!
^{n 1}

x
n 1
^{n 1}^!

^^0;1

formula hosil bo’ladi. Bu esa Makloren formulasi deb ataladi.

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar ro`yxati

1. Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть I. Учебное пособие. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 336 с.
2. Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть II. Учебное пособие. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 288 с.
3. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2-e изд. / Под. Редакция Н.Ш. Крамера М.: ЮНИТИ 2003. – 471с.
4. Karimov M., Abdukarimov R. Oliy matematika. O`quv qo`lanma. T.: «IQTISOD -MOLIYa», 2009. – 204b.
5. Raximov D.G., Roishev A.R. Oily matematika. 1 qism. O`quv qo`llanma. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 120b.
6. Soatov E.U. Oliy matematika kursi. I, II qism. «O’qituvchi». 1994.
7. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов. Теория, примеры, задачи. M.: «Экзамен», 2005.
8. Красс М.С., Чуринов В.П. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник. M.: Дело, 2005. – 576с.
9. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. / Под обшей редакции В.И. Ермакова. : INFRA – M, 2007. – 656с.
10.Бабаджанов Ш.Ш. Сборник задач по высшей математике. Часть I. Учебно-методическое пособие. T.: TMI, 2009. – 88 с.