Funksiyaning


Download 302.44 Kb.
bet2/2
Sana05.05.2023
Hajmi302.44 Kb.
#1431819
1   2
Bog'liq
Funksiyaning differensiali. Differensial hisobining asosiy teoremalari

3-misol. 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥funksiyaning 𝑑𝑦va 𝑑2𝑦larni toping, 𝑥erkli oʻzgaruvchi. 𝑑𝑦=𝑦𝑑𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝑑2𝑦=𝑦𝑑𝑥2=−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥2.
4-misol. 𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥murakkab funksiyaning 𝑑𝑦va 𝑑2𝑦larni toping, 𝑥=𝑙𝑛𝑡. 𝑑𝑦=𝑦𝑑𝑥=−𝑠𝑖𝑛𝑥∙𝑑𝑡=−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,chunki 𝑑𝑡=𝑑𝑥
𝑑2𝑦=𝑑(𝑑𝑦)=𝑦𝑑𝑥2+𝑦𝑑2𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥∙(𝑑𝑡)2+𝑠𝑖𝑛𝑥∙𝑑𝑡2 = −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥2−𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑2𝑥, chunki (1∙𝑑𝑡)2=𝑑𝑥2,(−𝑑𝑡2)=𝑑2𝑥.
Shunday qilib, 𝑑2𝑦=−𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑑𝑥2−𝑠𝑖𝑛𝑥∙𝑑2𝑥 formula oʻrinli.

Differensiallanuvchi funksiyalarning xususiyatlarini ochib beruvchi va ularni tekshirishda muhim ahamiyatga ega bo’lgan ba’zi teoremalar bilan tanishib chiqamiz.
1-teorema (Roll teoremasi). y f ( x) funksiya a;b kesmada aniqlangan va
uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya a; b intervalda differensiallanuvchi bo’lib, f (a ) f (b) tenglik orinli bolsa, u holda a; b intervalga tegishli hech
bo’lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, unda f (c ) 0 bo’ladi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, teorema shartlari bajarilganda, y f ( x) funksiya grafigining AB yoyiga tegishli bo’lgan hech bo’lmaganda bitta
nuqta (1–rasmda ikkita D va E nuqtalar) topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma O x abssissalar o’qiga parallel bo’ladi.
Teoremaning har bir sharti muhim ahamiyatga ega. Chunki ulardan biri bajarilmasa, a; b intervalda f '(c) 0 tenglikni qanoatlantiruvchi c nuqta topilmasligi mumkin.

y D y y

A B A B A B E

O a b x O a a1 b x O a a 2 b x

1-rasm. 2-rasm 3-rasm.

Masalan, 2–rasmda grafigi keltirilgan funksiya uchun uzluksizlik sharti bajarilmagan, a1 nuqta uning uzilish nuqtasi. Shu sababli f '(c) 0 tenglikni qanoatlantiruvchi c nuqta topilmaydi. 3–rasmda tasvirlangan funksiya uchun esa uning differensiallanuvchi sharti bajarilmagan, ya’ni a 2 nuqtada funksiya hosilaga ega emas. Demak, a 2 nuqtada bu egri chiziqqa urinma o’tkazib bo’lmaydi.


Bu egri chiziqlarga tegishli va a; b interval doirasida urinmalari O x oqiga
parallel bo’ladigan biror-bir nuqta mavjud emas.
2-teorema (Lagranj teoremasi). Agar y f ( x) funksiya a;b kesmada
aniqlangan va uzluksiz bo’lib, a;b intervalda differensiallanuvchi bo’lsa, u holda a;b intervalga tegishli kamida bitta shunday c nuqta topiladiki, uning uchun
f (b) f (a ) f '(c)(b a )
munosabat o’rinli bo’ladi.
Lagranj teoremasida Roll teoremasidagidek, funksiyadan [a;b] kesmaning chetki nuqtalarida teng qiymatlarga erishishi talab qilinmaydi. Bu teoremadan, xususan, f (a ) f (b) holda, f '(c) 0 ekanligi kelib chiqadi, shu ma’noda Lagranj
teoremasi Roll teoremasining umumlashmasi hisoblanadi.
Teoremani geometrik izohlaydigan bo’lsak, uning har bir sharti o’rinli bo’lganda, y f ( x) funksiya grafigining AB yoyga tegishlihechbo’lmaganda bitta
(4 – rasmda ikkita D va E ) nuqta topiladiki, chiziqning shu nuqtasiga o’tkazilgan urinma AB vatarga parallel bo’ladi.

y

E B
A
O a c1 c 2 b x

D

4-rasm.

Agar b a x almashtirish kiritsak, c nuqtani c a b a a x 0;1ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar bu
almashtirish e’tiborga olinsa, Lagranj formulasi
f (a x) f (a ) f '(a x)x (5)
shaklda yoziladi va unga Lagranjning chekli orttirmalar formulasi deyiladi.

n
3-teorema (Koshi teoremasi). Agar f ( x ) va g ( x ) funksiyalar [a;b] kesmada uzluksiz va a;b intervalda chekli f '( x) va g '( x ) hosilaga ega bo’lib
g ( x ) 0 , x a;b bolsa, u holda kamida bitta shunday c a;b nuqta topiladiki

f (b) f (a) g (b) g (a)
f 'c
g 'c

(6)



tenglik o’rinli bo’ladi.
Bu formula Koshi formulasi deyiladi.
Lagranjformulasi Koshiformulasiningxususiyholibo’lib, Koshiformulasida g ( x) x bo’lsa, Lagranj formulasi hosil bo’ladi.





1-masala. 1) f (x) x 2 2 va g (x) x3 1 funksiyalar uchun 1; 2kesmada Koshi teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va c nuqtani toping.
Yechimi. 1; 2kesmada f ( x ) va g ( x ) funksiyalar uzluksiz va f 'x 2 x,
g '(x) 3x2 0 chekli hosilalar mavjud.
f (b) 6, f (a ) 3; g (b) 7, g (a ) 0 ,


2
3 2 9c 14 c 14 . 7 3c 9

4-teorema. Agar y f ( x) funksiya x a nuqtaning biror bir atrofida aniqlangan va shu atrofda f '( x), f ''( x), ..., f n ( x), f n 1( x) hosilalarga ega
bo’lsa, u holda bu atrofga tegishli har bir x uchun Teylor formulasi:

f ( x) f (a ) f '(a ) x a f ''(a) x a 2 ...
1! 2! o’rinli bo’ladi.
Bu yerda

n
R x f n 1 a x a x a n 1
n 1 !
f n (a) ( x a )n R ( x), n!

(7)



Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi. Agar (3) da x a x almashtirish bajarsak, Teylor formulasi

f (a x) f (a) f 'a x 1!


f ''(a) x 2 ...
2!
f n (a) x n
n!
f n 1(a x) n 1
n 1!

ko’rinishni oladi va u Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb ataladi. Bu yerda 0; 1.
Agar Teylor formulasida a 0 bo’lsa, u holda

f ( x) f (0) f '(0) x 1!


f ''0 x 2 ... 2!
f n 0 x n n!
n 1

x
n 1
n 1!

0;1

formula hosil bo’ladi. Bu esa Makloren formulasi deb ataladi.

Foydalanishga tavsiya etiladigan adabiyotlar ro`yxati

1. Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть I. Учебное пособие. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 336 с.
2. Бабаджанов Ш.Ш. Высшая математика. Часть II. Учебное пособие. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 288 с.
3. Высшая математика для экономистов. Учебник. 2-e изд. / Под. Редакция Н.Ш. Крамера М.: ЮНИТИ 2003. – 471с.
4. Karimov M., Abdukarimov R. Oliy matematika. O`quv qo`lanma. T.: «IQTISOD -MOLIYa», 2009. – 204b.
5. Raximov D.G., Roishev A.R. Oily matematika. 1 qism. O`quv qo`llanma. T.: «IQTISOD - MOLIYa», 2008. – 120b.
6. Soatov E.U. Oliy matematika kursi. I, II qism. «O’qituvchi». 1994.
7. Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов. Теория, примеры, задачи. M.: «Экзамен», 2005.
8. Красс М.С., Чуринов В.П. Высшая математика для экономического бакалавриата. Учебник. M.: Дело, 2005. – 576с.
9. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник. / Под обшей редакции В.И. Ермакова. : INFRA – M, 2007. – 656с.
10.Бабаджанов Ш.Ш. Сборник задач по высшей математике. Часть I. Учебно-методическое пособие. T.: TMI, 2009. – 88 с.

Download 302.44 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling