Ga intiladi, lekin

2)


n ^да da


+ n +1} ketma -


ketliklar


mos


ravishda 0 va да ga intiladi, lekin n ^да da {x_n ■ y_n }=h+


1 1 1
~⁺— n n J


■ > 1.


3) n ^да da {x_n }=


n


, {y_n }= {n} ketma - ketliklar mos ravishda

0 va да ga intiladi, lekin {x_n ■ y_n }={(- 1)ⁿ} ketma - ketlik limitiga ega emas.
4⁰. да-да ko‘rinishdagi aniqmaslik lim x_n = да, lim y_n = -да bo‘lsin. n^-да n^-да
U holda {x_n + y_n} ketma - ketlikning xarakteri ham turlicha bo‘lishi mumkin:

1. 
   {x_n }= {2n}, {y_n }= {- n} ketma - ketliklar mos ravishda +да va -да ga intiladi, lekin n ^да da {x_n + y_n }^да;
   
2. 
   {x_n }= {n +1/ n}, {y_n }= {- n} bu ketma - ketliklar mos ravishda +да va -да ga intiladi, {x_n + y_n }^ 0;
   
3. 
   {x_n }= {n + (- 1)ⁿ⁺¹} {y_n }= {- n} ketma - ketliklar mos ravishda + да va -да ga intiladi, lekin, {x_n }={n + (- 1)"'¹} ketma - ketlik limitga ega emas. Yuqoridagi aniqmasliklardan tashqari 0⁰,да⁰,1^да ko‘rinishdagi aniqmasliklar ham mavjud. Bularni biz kelgusida ko‘rib o‘tamiz.
   

7. 
   §. Monoton ketma - ketliklar va ularning limiti. Monoton
   ketma - ketliklar haqidagi teoremalarning tatbiqlari
   

10. 
    Monoton kema - ketliklarning ta’rifi. {x_n} ketma - ketlik berilgan bo‘lsin.
    

1. 
   Ta’rif.Agarda {x_n} ketma - ketlikning hadlari Vn e N
   

uchun
^xn+1 ^ ^xn ^(xn+1 ^ ^xn⁾
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {x_n} ketma - ketlikni o‘suvchi (kamayuvchi) deyiladi.

2. 
   Ta’rif Agarda{x_n} ketma - ketlikning hadlari w <= n
   

uchun
^Xn+1 > ^Xn ^(xn+1 < ^xn ⁾
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {x_n} kema - ketlik qat’iy o‘suvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi.
O‘suvchi va kamayuvchi ketma - ketliklar birgalikda monoton ketma - ketlik deb ataladi.
Agar {x_n} ketma - ketlik o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lsa, u o‘zining birinchi elementi bilan quyidan (yuqoridan) chegaralangan bo‘ladi. Monoton ketma - ketliklarning chegaralanganligini tekshirish uchun ularning bir tomonlama chegaralanganligini tekshirish yetarli.
Misollar. 1) 1,1,-,-,...,-,-,... Kamayuvchi ketma - ketlik, u
2 2 n n
yuqoridan bir bilan, quyidan esa nol bilan chegaralangan.
2) 1,1,2,2,...,n, n...
ketma-ketlik o‘suvchi, u quyidan bir bilan chegaralangan, yuqoridan chegaralanmagan
,..12 3 n
J , , ,..., ,...
2 3 4 n +1
ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib u ikki tomondan ham chegaralangan, quyidan 1 bilan yuqoridan bir bilan chegaralangan

4. 
   1,¹,¹,...,¹,... ketma-ketlik qat’iy kamayuvchi ketma-ketlikdir.
   

2 3 n

10. 
    Monoton ketma - ketliklarning limiti haqidagi teoremalar. Ketma-ketliklarni o‘rganishdagi asosiy muammo-bu ketma-ketlik limitlarining mavjudligini ko‘rsatish haqidagi muammodir. Bu muammoni umumiy holda hal qilish, murakkab bo‘lsada, lekin ketma-ketliklarning ba’zi sinflari uchun bu masala oson yechiladi.
    

Ayniqsa, monoton ketma-ketliklar uchun limitning mavjudlik masalasi sodda yechimga ega. Biz bu 2.11-bandda monoton ketma- ketliklar limitining mavjudlik shartlarini o‘rganamiz.
2.11.1. Teorema. Agar {x_n} ketma - ketlik o‘suvchi bo‘lib, u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega va
lim x_n = sup{x_n}= a. n^ro
Isboti. Ketma - ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan bo‘lsin. {x_n} ketma - ketlik yuqoridan chegaralanligi uchun ЯM> 0, Vn e N uchun x_n <M tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa {x_n} to‘plamning chegaralanganligini ifodalaydi. U holda 1.2.2-teoremaga asosan, 3sup{x_n}= a. To‘plam aniq yuqori chegarasining xossasiga asosan Vn e N uchun
x_n < a (2.11.2)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, ikkinchi tomondan Vs > 0 uchun ketma - ketlikning Яx elementi topiladiki, bu had uchun
.l > a - s (2.11.3)
ⁿ0 ^V
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. (2.11.2) bilan (2.11.3) dan ^Vs > 0,3n₀ (s): Vn > n₀ (s) uchun a-s < x_nQ < x_n < a ^ lim x_n = a = sup{x_n } kelib chiqadi.

4. 
   Teorema . Agar {x_n} ketma - ketlik kamayuvchi bo‘lib quyidagi chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega va lim x_n = inf {x_n}.
   

n^»
Bu teoremaning isboti 2.11.1-teoremaning isboti kabi bo‘ladi. Yuqoridagi teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.

4. 
   Natija. O‘suvchi (kamayuvchi) ketma - ketlik
   

yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yuqoridan (quyidan)
chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.

4. 
   Natija. Yaqinlashuvchi ketma - ketlik monoton bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan, x_n =^{( 1)} yaqinlashuvchi va
   

n
uning limiti nolga teng, lekin u monoton emas.

2.12. Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremaning tadbiqlari. e-soni.
2.12.1. Misol. Ushbu

_aⁿ
lim — = 0 (a e R) (2.12.2)
n^» n!
tenglikni isbotlang.
aⁿ
Isboti. Ravshanki lai < 1 bo‘lganda, lim — = 0. Faraz qilaylik
n^» n!

_aⁿ
a > 1 bo‘lsin. x = — ⁿ n!

deb

belgilab, —^i nisbatni qaraylik: ^xn
x± ^0.
x_n n + 1 n ^»

X„ + 1
Bundan Bn₀ (n₀ -istalgancha katta), Vn > n₀ uchun -*— < 1, x_n+1 < x_n.
^xn
Demak , {x_n} ketma - ketlik Vn > n₀ uchun kamayuvchi va 0 < x_n. 2.11.4-teoremaga ko‘ra {x_n} ketma - ketlik chekli limitga ega, yani lim x_n = A > 0. 2.7.8-xossadan

A = lim x_w+1 = lim x_w • — = A • 0 = 0. n^» n^» n + 1
Shunday qilib, (2.12.2) tenglik a > 0 uchun isbotlandi. a < 0 bo‘lganda ham (2.12.2) tenglik o‘rinli bo‘ladi, chunki
|a|ⁿ
= ^ ^ 0 .■
n! n^»

aⁿ

n!

2.12.3 (e-soni). Misol. Ushbu
\+1)"
I n 7
ketma - ketliklar mos ravishda o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan,

1 V⁺¹
■ (n = 1,2,...)

monoton kamayuvchi va quyidan chegaralanganliklarini hamda
1ⁿ
lim 1 +¹
I

n^»

Z ₁ X ⁿ⁺¹
= lim 1 +¹
I ⁿ 7

n^»


ekanligini ko‘rsating.



Isboti. Avvalo, ^x±1
xn

nisbatni qaraymiz:








n

^Xn +1

^Xn

(« +1)²

• (n +1)

• n+1 — 1, -^ > 1
n X_n

f1+41' к n +1	/	( 1 2 1 ' , n + 1	n+1 n + 1	' n(n + 2) ^Л	n+1 n + 1
' 13 1+- к n)	^n	1+^1к n )	^n	к(« + 1)(n + 1)	• n

^Xn+1


X n


'⁽ⁿ⁺¹⁾² -¹ 3ⁿ⁺¹• «+¹ I (« +1)² ) n


¹ -


xn+1


n+1?,



keyingi tenglikning o‘ng tomoniga Bernulli tengsizligini qo‘llash natijasida

I '1 -¹1
2! к n )

+...+A '1 n ! к

n )

'1


tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa, {x_n} ketma - ketlikning
o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday

У« — _ y„^-^1

z 1 x« ^+1 1 + - 111! к n) 1 n +1 1 n +1 ' 1 Y ^— С 1 У' « \ n n ~ 1+Л 1+-Л ^1^+n^ 4 n -1) к n -1) ^n^1 ^2 1 n + n - n -1 л ^— 3 2 < ^1, ^ Уп < Уп-1 n + n - n

Demak, {y_n} ketma-ketlik monoton kamayuvchi ekan.
Ravshanki {x_n} ketma - ketlikning berilishidan, x_n > 2. Endi uning
yuqoridan chegaralanganligini ko‘rsatamiz:

'1+1T к n)
1+^1- n(n - 1) 1 _{+ +} n(n - 1).. .(n - n +1) 1
n 2! n² n! nⁿ

1

2
2 < x_n < 3.
Ravshanki, 0 < х_и < y_w. Monoton ketma-ketliklarning limiti haqidagi 2.11.1-, 2.11.4-teoremalarga asosan, {x_n} va {y_n} ketma - ketliklar chekli limitga ega:
{x_n} ketma - ketlikning limitini (Eylerning belgilashi bo‘yicha) tarif bo‘yicha e deb qabul qilamiz, ya’ni lim(i + 1)ⁿ = e Malumki, e - n^W n
irrasional son bo‘lib, u e = 2,718281828459045...
Odatda, o‘zgarmas e sonini D. Neter soni ham deb yuritiladi.


■ - <-, lim - = 0. U holda, 2.8.4- n n " >' n
yoki lim y_n = lim x_n = e ekanligi
n^w n^

Ravshanki, 0 < y_n - x_n
( Пⁿ
1 + -
I n)
xossaga asosan, lim (y_n - x_n)=0. H^W kelib chiqadi. ■

4. 
   
   
   olinadi. e asosli
   u ln (logarithmus
   Eslatma. e soni matematikada muhim ahamiyatga ega bo‘lib, logorifmlar sistemasining asosi qilib
   

logorifmni natural logorifm deb ataladi va
naturalis) kabi belgilanadi.


logorifm orasida
Malumki, o‘nli logarifm bilan natural bog‘lanish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi.
log x = M ■ ln x,
bunda M-o‘tish moduli bo‘lib, u M = log e = -^ = 0,434294... ga teng.
ln10

7.