Ga intiladi, lekin
Download 49,95 Kb.
|
f66a7a3f77332932fed3e3551d0591eb MATEMATIK ANALIZ 1-qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- Monoton ketma - ketliklarning limiti haqidagi teoremalar.
- 2.11.1. Teorema
- 2.12. Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremaning tadbiqlari. e-soni. 2.12.1. Misol.
|
2) n ^да da + n +1} ketma - ketliklar mos ravishda 0 va да ga intiladi, lekin n ^да da {xn ■ yn }=h+ 1 1 1 ~+— n n J ■ > 1. 3) n ^да da {xn }= n , {yn }= {n} ketma - ketliklar mos ravishda 0 va да ga intiladi, lekin {xn ■ yn }={(- 1)n} ketma - ketlik limitiga ega emas. 40. да-да ko‘rinishdagi aniqmaslik lim xn = да, lim yn = -да bo‘lsin. n^-да n^-да U holda {xn + yn} ketma - ketlikning xarakteri ham turlicha bo‘lishi mumkin:
uchun xn+1 ^ xn (xn+1 ^ xn) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {xn} ketma - ketlikni o‘suvchi (kamayuvchi) deyiladi.
uchun Xn+1 > Xn (xn+1 < xn ) tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda {xn} kema - ketlik qat’iy o‘suvchi (qat’iy kamayuvchi) deyiladi. O‘suvchi va kamayuvchi ketma - ketliklar birgalikda monoton ketma - ketlik deb ataladi. Agar {xn} ketma - ketlik o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lsa, u o‘zining birinchi elementi bilan quyidan (yuqoridan) chegaralangan bo‘ladi. Monoton ketma - ketliklarning chegaralanganligini tekshirish uchun ularning bir tomonlama chegaralanganligini tekshirish yetarli. Misollar. 1) 1,1,-,-,...,-,-,... Kamayuvchi ketma - ketlik, u 2 2 n n yuqoridan bir bilan, quyidan esa nol bilan chegaralangan. 2) 1,1,2,2,...,n, n... ketma-ketlik o‘suvchi, u quyidan bir bilan chegaralangan, yuqoridan chegaralanmagan ,..12 3 n J , , ,..., ,... 2 3 4 n +1 ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib u ikki tomondan ham chegaralangan, quyidan 1 bilan yuqoridan bir bilan chegaralangan
2 3 n
Ayniqsa, monoton ketma-ketliklar uchun limitning mavjudlik masalasi sodda yechimga ega. Biz bu 2.11-bandda monoton ketma- ketliklar limitining mavjudlik shartlarini o‘rganamiz. 2.11.1. Teorema. Agar {xn} ketma - ketlik o‘suvchi bo‘lib, u yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega va lim xn = sup{xn}= a. n^ro Isboti. Ketma - ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan bo‘lsin. {xn} ketma - ketlik yuqoridan chegaralanligi uchun ЯM> 0, Vn e N uchun xn <M tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu esa {xn} to‘plamning chegaralanganligini ifodalaydi. U holda 1.2.2-teoremaga asosan, 3sup{xn}= a. To‘plam aniq yuqori chegarasining xossasiga asosan Vn e N uchun xn < a (2.11.2) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, ikkinchi tomondan Vs > 0 uchun ketma - ketlikning Яx elementi topiladiki, bu had uchun .l > a - s (2.11.3) n0 V tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. (2.11.2) bilan (2.11.3) dan ^Vs > 0,3n0 (s): Vn > n0 (s) uchun a-s < xnQ < xn < a ^ lim xn = a = sup{xn } kelib chiqadi.
n^» Bu teoremaning isboti 2.11.1-teoremaning isboti kabi bo‘ladi. Yuqoridagi teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
n uning limiti nolga teng, lekin u monoton emas. 2.12. Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremaning tadbiqlari. e-soni. 2.12.1. Misol. Ushbu an lim — = 0 (a e R) (2.12.2) n^» n! tenglikni isbotlang. an Isboti. Ravshanki lai < 1 bo‘lganda, lim — = 0. Faraz qilaylik n^» n! an a > 1 bo‘lsin. x = — n n! deb belgilab, —^i nisbatni qaraylik: xn x± ^0. xn n + 1 n ^» X„ + 1 Bundan Bn0 (n0 -istalgancha katta), Vn > n0 uchun -*— < 1, xn+1 < xn. xn Demak , {xn} ketma - ketlik Vn > n0 uchun kamayuvchi va 0 < xn. 2.11.4-teoremaga ko‘ra {xn} ketma - ketlik chekli limitga ega, yani lim xn = A > 0. 2.7.8-xossadan A = lim xw+1 = lim xw • — = A • 0 = 0. n^» n^» n + 1 Shunday qilib, (2.12.2) tenglik a > 0 uchun isbotlandi. a < 0 bo‘lganda ham (2.12.2) tenglik o‘rinli bo‘ladi, chunki |a|n = ^ ^ 0 .■ n! n^» an n! 2.12.3 (e-soni). Misol. Ushbu \+1)" I n 7 ketma - ketliklar mos ravishda o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan, 1 V+1 ■ (n = 1,2,...) monoton kamayuvchi va quyidan chegaralanganliklarini hamda 1n lim 1 +1 I n^» Z 1 X n+1 = lim 1 +1 I n 7 n^» ekanligini ko‘rsating. Isboti. Avvalo, x±1 xn nisbatni qaraymiz: n Xn +1 Xn (« +1)2 • (n +1) • n+1 — 1, -^ > 1 n Xn
Xn+1 X n '(n+1)2 -1 3n+1• «+1 I (« +1)2 ) n 1 - xn+1 n+1?, keyingi tenglikning o‘ng tomoniga Bernulli tengsizligini qo‘llash natijasida I '1 -11 2! к n ) +...+A '1 n ! к n ) '1 tengsizlikni hosil qilamiz. Bundan esa, {xn} ketma - ketlikning o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday
Demak, {yn} ketma-ketlik monoton kamayuvchi ekan. Ravshanki {xn} ketma - ketlikning berilishidan, xn > 2. Endi uning yuqoridan chegaralanganligini ko‘rsatamiz: '1+1T к n) 1+^1- n(n - 1) 1 + + n(n - 1).. .(n - n +1) 1 n 2! n2 n! nn
2 2 < xn < 3. Ravshanki, 0 < хи < yw. Monoton ketma-ketliklarning limiti haqidagi 2.11.1-, 2.11.4-teoremalarga asosan, {xn} va {yn} ketma - ketliklar chekli limitga ega: {xn} ketma - ketlikning limitini (Eylerning belgilashi bo‘yicha) tarif bo‘yicha e deb qabul qilamiz, ya’ni lim(i + 1)n = e Malumki, e - n^W n irrasional son bo‘lib, u e = 2,718281828459045... Odatda, o‘zgarmas e sonini D. Neter soni ham deb yuritiladi. ■ - <-, lim - = 0. U holda, 2.8.4- n n " >' n yoki lim yn = lim xn = e ekanligi n^w n^ Ravshanki, 0 < yn - xn ( Пn 1 + - I n) xossaga asosan, lim (yn - xn)=0. H^W kelib chiqadi. ■
logorifmni natural logorifm deb ataladi va naturalis) kabi belgilanadi. logorifm orasida Malumki, o‘nli logarifm bilan natural bog‘lanish quyidagi formula orqali amalga oshiriladi. log x = M ■ ln x, bunda M-o‘tish moduli bo‘lib, u M = log e = -^ = 0,434294... ga teng. ln10 Download 49,95 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|