Ga intiladi, lekin

2.15. Ketma - ketlikning limit nuqtasi. Faraz qilaylik sonlar o‘qining biror VMqismiy to‘plami va {x_n}-ixtiyoriy ketma - ketlik berilgan bo‘lsin.

1. 
   Tarif. Agar x g ^M nuqtaning V U_s (x) atrofida {x_n} ket^na ketlikning cheksiz ko‘p elementlar joylashgan bo‘lsa, u holda x nuqta {x_n} ketma - ketlikning limit nuqtasi deyiladi.
   
2. 
   Lemma. Agar x - nuqta {x_n} ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda bu ketma - ketlikdan x ga intiluvchi {x_k} - qismiy ketma - ketlikni ajratish mumkin.
   

1 ₊ 1 ₊, 1 1 1
ga ketma-ket 1,-,-,...,-, 23 n
Isboti. x nuqta {x_n} ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lsin. Vs > 0 qiymatlarini berib, (x - -¹, x +^{1 1} intervallar L n n J
sistemasini hosil qilamiz. Bu intervallarning har birida {x_n } ketma - ketlikning cheksiz ko‘p elementlari yotadi. Birinchi (x-1, x +1)


x - 1, x +¹
I 3 3 J
intervaldan ketma - ketlikning k nomerli elementni tanlaymiz, ikkinchi
1) intervalning k₂ > k nomerli, uchinchi
intervalning k₃ > k₂ nomerli va xokazo. Natijada

	(	1	1 ii
e	x -	,	x + -
	L	n	n J J

x_t - x ^kn

х ga intiluvchi qismiy ketma - ketliklarni hosil

qilamiz, ya’ni


Bundan, {x_k} ketma - ketlikning x nuqtaga yaqiinlashuvchi ekanligini kelib chiqadi. ■

3. 
   Lemma. Har qanday ketma - ketlikning qismiy limiti shu ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘ladi.
   

Isboti.x nuqta {x_n} ketma - ketlikning qismiy limiti bo‘lsin, ya’ni x ga intiluvchi {p_kn} qismiy ketma - ketlik mavjud bo‘lsin. U holda Vs > 0 uchun {р_кп} ketma - ketlikning biror nomerdan boshlab barcha elemenlarni x ning U_s (x) atrofida yotadi. Demak, U_s (x) da {x_n} ketma - ketlikning cheksiz ko‘p elementlari mavjud bo‘lgan, 2.15.1- tarifiga asosan, ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lar ekan.
Ravshanki, {x_n} ketma - ketlikning quyi va yuqori limitlari, ushbu
lim x < limx_n munosabatini qanoatlantiradi.
n >/ ⁿ >/
Chegaralangan ketma-ketlikning kuyi va yuqori limitlari uchun kuyidagi munosabatlar o‘rinli:
1) lim(-x_n) = - lim x_n, lim(-x_n) = - lim x_n;
">^x n>x n>x ⁿ>^
²⁾ lim(x_n + y_n) < lim x_n + lim y_n;
n^n n^

3. 
   Agar ixtiyoriy ikki chegaralangan {x_n} va {y_n} ketma - ketliklar ^xn < Уп (^{n —} 1,2, ⁾
   

shartni kanoatlantirsa, u holda
lim x_n < lim y_n, lim x_n < lim y_n.
ⁿ^^{x n}^X n^n n^

7. 
   §. Koshi teoremasi (yaqinlanish prinsipi)
   

2.16. Fundamintal ketma - ketlik. Biror ixtiyoriy {x_n} ketma - ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlikning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash, ketma-ketliklar nazariyasining eng muhim masalalaridan biridir.

1. 
   Ta’rif. V; > 0 son olinganda ham, shunday n₀ e N nomer mavjud bo‘lib, Vn > n₀ va Vm > n₀ lar uchun
   

\^xn -^xm\< e ⁽².16.²⁾
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, {x_n} ketma - ketlikka fundamental ketma - ketlik deyiladi.

3. 
   Eslatma. Fundamental ketma-ketlik, yaqinlashuvchi
   

ketma-ketlik deb ham yuritiladi.
Agar (2.16.2) shart bajarilmasa, ya’ni
zl£₀ > 0: Vk e N,Bn > k,Bm > k:







^xm ^{— x}n\ > ^S0

bo‘lsa, {x_n} ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi.

Misollar. 1). Ushbu

{xn } —

ketma

(2.16.4)
- ketlikni


fundamentallikka tekshiring.
Yechilishi. (2.16.2) ning chap tomonidagi ifodani yozib olib, uni baholaymiz:
n + m 1 1
< — - + —.
nm n m