Ga intiladi, lekin
Ketma - ketlikning limit nuqtasi
Download 49.95 Kb.
|
f66a7a3f77332932fed3e3551d0591eb MATEMATIK ANALIZ 1-qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.16. Fundamintal ketma - ketlik.
- Misollar. 1)
2.15. Ketma - ketlikning limit nuqtasi. Faraz qilaylik sonlar o‘qining biror VMqismiy to‘plami va {xn}-ixtiyoriy ketma - ketlik berilgan bo‘lsin.
Tarif. Agar x g ^M nuqtaning V Us (x) atrofida {xn} ket^na ketlikning cheksiz ko‘p elementlar joylashgan bo‘lsa, u holda x nuqta {xn} ketma - ketlikning limit nuqtasi deyiladi. Lemma. Agar x - nuqta {xn} ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lsa, u holda bu ketma - ketlikdan x ga intiluvchi {xk} - qismiy ketma - ketlikni ajratish mumkin. 1 + 1 +, 1 1 1 ga ketma-ket 1,-,-,...,-, 23 n Isboti. x nuqta {xn} ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lsin. Vs > 0 qiymatlarini berib, (x - -1, x +1 1 intervallar L n n J sistemasini hosil qilamiz. Bu intervallarning har birida {xn } ketma - ketlikning cheksiz ko‘p elementlari yotadi. Birinchi (x-1, x +1) x - 1, x +1 I 3 3 J intervaldan ketma - ketlikning k nomerli elementni tanlaymiz, ikkinchi 1) intervalning k2 > k nomerli, uchinchi intervalning k3 > k2 nomerli va xokazo. Natijada
xt - x kn х ga intiluvchi qismiy ketma - ketliklarni hosil qilamiz, ya’ni Bundan, {xk} ketma - ketlikning x nuqtaga yaqiinlashuvchi ekanligini kelib chiqadi. ■ Lemma. Har qanday ketma - ketlikning qismiy limiti shu ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘ladi. Isboti.x nuqta {xn} ketma - ketlikning qismiy limiti bo‘lsin, ya’ni x ga intiluvchi {pkn} qismiy ketma - ketlik mavjud bo‘lsin. U holda Vs > 0 uchun {ркп} ketma - ketlikning biror nomerdan boshlab barcha elemenlarni x ning Us (x) atrofida yotadi. Demak, Us (x) da {xn} ketma - ketlikning cheksiz ko‘p elementlari mavjud bo‘lgan, 2.15.1- tarifiga asosan, ketma - ketlikning limit nuqtasi bo‘lar ekan. Ravshanki, {xn} ketma - ketlikning quyi va yuqori limitlari, ushbu lim x < limxn munosabatini qanoatlantiradi. n >/ n >/ Chegaralangan ketma-ketlikning kuyi va yuqori limitlari uchun kuyidagi munosabatlar o‘rinli: 1) lim(-xn) = - lim xn, lim(-xn) = - lim xn; ">x n>x n>x n>^ 2) lim(xn + yn) < lim xn + lim yn; n^n n^ Agar ixtiyoriy ikki chegaralangan {xn} va {yn} ketma - ketliklar xn < Уп (n — 1,2, ) shartni kanoatlantirsa, u holda lim xn < lim yn, lim xn < lim yn. n^x n^X n^n n^ §. Koshi teoremasi (yaqinlanish prinsipi) 2.16. Fundamintal ketma - ketlik. Biror ixtiyoriy {xn} ketma - ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlikning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash, ketma-ketliklar nazariyasining eng muhim masalalaridan biridir. Ta’rif. V; > 0 son olinganda ham, shunday n0 e N nomer mavjud bo‘lib, Vn > n0 va Vm > n0 lar uchun \xn -xm\< e (2.16.2) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, {xn} ketma - ketlikka fundamental ketma - ketlik deyiladi. Eslatma. Fundamental ketma-ketlik, yaqinlashuvchi ketma-ketlik deb ham yuritiladi. Agar (2.16.2) shart bajarilmasa, ya’ni zl£0 > 0: Vk e N,Bn > k,Bm > k: xm — xn\ > S0 bo‘lsa, {xn} ketma-ketlik uzoqlashuvchi deyiladi. Misollar. 1). Ushbu {xn } — ketma (2.16.4) - ketlikni fundamentallikka tekshiring. Yechilishi. (2.16.2) ning chap tomonidagi ifodani yozib olib, uni baholaymiz: n + m 1 1 < — - + —. nm n m Download 49.95 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling