Ga intiladi, lekin

§. Qismiy ketma - ketliklar.
Bolsano - Veyershtrass lemmasi

2.13. Qismiy ketma - ketliklar. Ixtiyoriy
{x„}: x-,x2,...,x_n,... (2.13.1)
ketma -ketlik berilgan bo‘lsin. Qat’iy o‘suvchi natural sonlar ketma- ketligi, ya’ni k < k₂ < k₃ <... < k_n <... qaraymiz. {x_n} ketma - ketlikning elementlaridan k1,k₂,..k_n,... nomerdagilarni olib, ularni quyidagicha joylashtirib
^x- ^xk₂,...^,xk_n,... ⁽².13.²⁾
ketma - ketlikni tuzamiz. (2.13.2) ketma-ketlik, berilgan (2.13.1) ketma - ketlikning qismiy ketma - ketligi deyiladi va u qisqacha x,} kabi belgilanadi.
Qismiy ketma-ketlikning ta’rifiga asosan, {x_k} ketma-ketlik, {^} ning elementlaridan tashkil topgan bo‘lib, uning elementlarining joylashishi к} ketma-ketlik elementlarini joylashishi tartibida joylashgan. {^ } yozuvda n, qismiy x_ki,x^ ,...,x_k,... ketma-ketlik hadlarining tartib nomerini, k esa, berilgan ketma-ketlik hadlarining nomerini ifodalaydi. Shuning uchun k_n >n bo‘lib, n>y. da k_n ^o>.
Masalan : 1) {x₂„_j va {x₂„} ketma-ketliklar mos ravishda berilgan {x } ketma-ketlikning toq va juft elementlaridan tuzilgan qismiy ketma- ketliklardir. 2) 2,4,6,...2n,...; 1,3,5,...2n-1,... 1,4,9,...,n²,...; 1,8,27,...,n³,... ketma-ketliklar natural sonlar ketma-ketligi : 1,2, ... , n, ... ning qismiy ketma-ketliklaridir. 5,3,9,1,11,7, ... ketma-ketli k natural sonlar ketma- ketligining qismiy ketma-ketligi bo‘la olmaydi. 3) 1, 1, ... , 1, ... ; -1,-1, ... ,-1, ... ketma-ketlar {(-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari bo‘ladi.
Xususiy holda {x_n} ketma - ketlikning o‘zini ham qismiy ketma- ketlik deb qarash mumkin. (bu holda k_n = n ).
Yuqorida keltirilgan misollardan bitta ketma-ketlikning turli qismiy ketma-ketliklari bo‘lishi mumkinligini ko‘rish mumkin.

3. 
   Ta’rif. {x_n} ketma - ketlik qismiy ketma - ketligining limitiga shu ketma - ketlikning qismiy limiti deyiladi.
   

Masalan, {(-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari :
1, 1, 1, ... , 1, ...,
-1, -1, -1, ... , -1, ...
mos ravishda 1 va -1 limitlarga ega. Demak, 2.13.3-ta’rifga asosan, {(-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlikning qismiy limitlar 1 va -1 lardan iborat.
Ketma-ketlik va uning qismiy ketma-ketliklari limitlari orasidagi munosabatlarni aniqlovchi quyidagi teoremani keltiramiz.

3. 
   Teorema. Agar: a) {x_n} ketma - ketlik limitga ega bo‘lsa, uning har qanday qismiy ketma - ketligi ham shu limitga ega bo‘ladi; b) aksincha, {x_n} ketma-ketlik qismiy ketma-ketliklarining barchasi bitta va faqat bitta limitga ega bo‘lsa, u holda {x_n} ketma-ketlik ham shu limitga ega bo‘ladi.