Ga intiladi, lekin
Download 49.95 Kb.
|
f66a7a3f77332932fed3e3551d0591eb MATEMATIK ANALIZ 1-qism
- Bu sahifa navigatsiya:
- Lemma (Bolsano-Veyershtrass)
Isboti. a) {xn} ketma - ketlik limitga ega, ya’ni lim xn = a bo‘lsin. n^-да
U holda limitning ta’rifiga ko‘ra, Vs > 0 olinganda ham BN(s),(N(s)eN),Vn > N(s) uchun \xn -a| < s tengsizlik bajariladi. {xnk} ketma - ketlik, {xn} ketma - ketlikning ixtiyoriy qismiy ketma - ketligi bo‘lsin. k ^да da nk ^да uchun BK,k > Kda nk > N bo‘ladi. U holda, k ning yuqoridagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | x^ - a |< s tengsizlik bajariladi. Bundan esa, lim xnk = a kelib chiqadi. b) {xn} ketma-ketlik qismiy ketma-ketligini barchasi biror a limitga intilsin. Biz yuqorida takidlagan edikki, {xn} ketma-ketlikning o‘zini ham qismiy ketma-ketlik deb qarash mumkin (bu holda n = n). U holda, {xn} ketma-ketlik sifatida a limitga yaqinlashadi, ya’ni lim xn = a. n^rc> ■ Eslatma. Ketma-ketlik, qismiy ketma-ketliklarining limiti mavjud bo‘lishidan, berilgan ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, {(-1)n+1} ketma-ketlik limitga ega emas, lekin qismiy ketma-ketliklarning limitlari mavjud. Lemma (Bolsano-Veyershtrass). Har qanday chegaralangan sonli{x } ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketlik ajratish mumkin. Isboti. Shartga ko‘ra {xn} ketma-ketlik chegaralangan bo‘lgani uchun uning hamma elementlari biror [a,b] segmentda yotadi, ya’ni a < xn < b (n = 1,2,...).|a,b] segmentni a^b = d nuqta orqali teng ikki segmentga ajratamiz. Bu segmentlardan {x } ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘ziga saqlaganini [a1, b1] kesma orqali belgilaymiz. Bordiyu [a,d],[d,b] kesmalarning ikkalasi ham {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlasa, [a1,b1] kesma sifatida bu kesmalarning o‘ng tomonidagisini olamiz. So‘ngra, [a,b] kesmani [a1, b1] о [a2, b2] о ... о [an, bn ] о ... ketma-ketligini hosil qilamiz. Bunda, j9-qadamdagi [an, bn ] kesmaning uzunligi bn - an b - a a > 0. 2n n^-X Demak, ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi 1.8.4-, 1.8.7- teoremalariga asosan, [a,b] kesmaning yuqoridagi barcha kesmalariga tegishli c nuqta mavjud va yagona bo‘ladi. Endi, {xn} ketma-ketlikning, aynan shu c nuqtaga yaqinlashuvchi, ya’ni lim xn = c bo‘lgan qismiy ketma-ketlikning mavjudligini isbot nk X k qilamiz. Endi, {x} ketma-ketlikni quramiz: [an,bn](n = 1,2,...) segment {xn} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlaganini e’tiborga olgan holda, undagi {xn} ketma-ketlikning elementlaridan birini olib, uni x deb belgilaymiz. So‘ngra [a2,b] segmentdagi ketma-ketlikning elementlaridan x elementdan keyin keladiganlaridan birini olib, uni x(n1 < n2) deb belgilaymiz. Bu jarayonni davom ettirib, natijada {xn} ketma-ketlik elementlaridan tuzilgan x,x,...,x ,... (n1 <n2 <...<nk <...) ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ravshanki, x} ketma-ketlikning barcha elementlari ak < x < bk(k = 1,2,...) tengsizlikni qanoatlantiradi. Bundan esa, lim xn = c ekanligi kelib chiqadi. ■ n^X k Download 49.95 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling