Ga intiladi, lekin

2.14. Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari. {x_n} ketma- ketlik berilgan bo‘lsin. Agar {x_n} ketma-ketlik chegaralangan bo‘lib, uning hamma qismiy limitlari to‘plamini L desak, u holda supL va inf L sonlar mos ravishda {x_n} ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari deyiladi va ular lim x_n, lim x_n kabi belgilanadi. ⁿ^^X n^X
Yuqorida ikkita qismiy limitga ega bo‘lgan ketma-ketlikga misol sifatida {(-1)”⁺¹} ketma-ketlikni keltirgan edik. Bu ketma-ketlikning qismiy limitlari 1 va -1 ga teng. Bu holda, lim x_n = 1, lim x_n = -1.
ⁿ ^^w n^w
Yuqori va quyi limitlarning quyidagi xossalarini keltiramiz :
m soni (chekli yoki + w,-w) {x_w} ketma-ketlikning yuqori limiti deyiladi, agarda u quyidagi ikki shartni qanoatlantirsa :

1. 
   {x_n} ketma-ketlikning m ga intiluvchi {^} qismiy ketma-ketligi mavjud bo‘lsa : lim x_n = M.
   

ⁿk ^{>w k}

2. 
   {х_и} ketma-ketlikning ixtiyoriy yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketligi lim x_n <M bo‘lsa, {x_n} ketma-ketlikning yuqori limiti, odatda
   

k^w> ^k
quyidagicha ham belgilanadi : M = lim x_n = lim x_n = lim supx_k. n^w n^w n^-w k>n
Agar {x_n} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda, ravshanki lim x = +w.
n ^w
Misol. {n⁽“¹⁾ⁿ} = {1,2,¹,4,¹,...}. Bu ketma-ketlik yuqoridan
chegaralanmagan, shuning uchun lim n^(-1)" = +w. n ^w
Yuqoridan chegaralangan {x_n} ketma-ketlikning M yuqori limitini quyidagicha ham aniqlash mumkin : Vs > 0 olinganda ham M + s ning o‘ng tomonida {x_n} ning chekli sondagi elementlari M- s ning o‘ng tomonida esa, ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlari joylashgan bo‘ladi.
Agar {x_n} ketma-ketlik chekli m limitga ega bo‘lsa : lim ^xn = ^M , ^u n ^w
holda, Vs > 0 uchun M - s < x_n < M + s tengsizlik x„ ning chekli sondagi elementlaridan tashqari barcha elementlari uchun bajariladi, ya’ni M+s ning o‘ng tomonida ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari, M - s ning o‘ng tomonida cheksiz ko‘p elementlari joylashadi. Bundan,
M = lim x_w.
Shunday qilib, agar M = lim x_n bo‘lsa, u holda lim x_n = lim ^xn = ^M .
n^w n ^w n ^w
Oddiy limit bilan yuqori limit orasidagi farq quyidagicha: oddiy limitda M- s ning chap tomonida x„ ning chekli sondagi elementlari joylashsa, yuqori limitda esa, M- s ning chap tomonida x_n ning cheksiz ko‘p elementlari joylashishi ham mumkin.
Ta’rif bo‘yicha m soni (chekli yoki + »,-») {x_w} ketma-ketlikning quyi limiti deyiladi, agarda quyidagi ikki shartni qanoatlantirsa :

1. 
   {x_n} ketma-ketlikning m ga yaqinlashuvchi qismiy {x} ketma- ketligi mavjud bo‘lsa : lim{x_n } = m.
   

k^» ^k

2. 
   {x_n} ketma-ketlikning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi lim{x_n } > m bo‘lsa, {x_n} ketma-ketlikning quyi limiti, odatda quyidagicha k^» ^k
   

ham belgilanadi:
m = lim x„ = lim inf x„ .
_n^.» n^» k>n ^k
Agar {x_n} ketma-ketlik quyidan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda,
lim x_n = -». n ^»
Agar {x} ketma-ketlik quyidan chegaralangan bo‘lsa, uning quyi limiti m ni quyidagicha ham aniqlash mumkin:
Vs > 0 uchun m - s ning chap tomonida x_n ning chekli sondagi elementlari, m + sning chap tomonida esa, x_n ning cheksiz ko‘p elementlari joylashgan bo‘ladi.
Ravshanki,
lim x_n < limx_n . (2.14.1)
n^» ⁿ^»

2. 
   Teorema. {x_n} ketma-ketlik limitga (chekli yoki +»,») ega bo‘lishi uchun lim x_n = lim x_n bo‘lishi zarur va yetarli.
   

ⁿ^» n^»