Reja: Umumiy tushunchalar

Umumiy ko‘rinishdagi tenglamalar sistemasini Gauss usulida yechish


Reja:

1. 
   Umumiy tushunchalar.
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usuli.
   
3. 
   Kroneker- Kapelli teoremasi.
   

Chiziqli tenglama deb, a₁ x₁  a₂ x₂  ...  a_n x_n  b,
ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi, bu yerda a_i va b – sonlar, x_i - noma’lumlar. Shunday qilib, chiziqli tenglamaning chap tomonida no’malumlarning chiziqli kombinatsiyasi, o‘ng tomonida esa son turadi.

Agar b  0 bo‘lsa, chiziqli tenglama bir jinsli, aks holda, ya’ni b  0 bo‘lsa, bir jinsli bo‘lmagan tenglama deyiladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasi deb quyidagi ko‘rinishdagi sistemaga aytiladi:

 a x  a x

2

 ...  a

x

n

 b



11 1

12

1n

1

 a21x1  a22 x2

 ...  a2n xn

 b2

,



............................................



a

x  a

m 2

x

2

 ...  a

mn

x

n

 b



m1 1

m

bu erda , - sonlar, ^x j - noma’lumlar, n – noma’lumlar soni, m – tenglamalar

soni ( i  1, m; j  1, n ).

Chiziqli tenglamalar sistemaining yechimi deb shunday sonlarga

aytiladiki, bu sonlarni noma’lumlar o‘rniga quyilganda, sistemaning har bir tenglamasi o‘rinli tenglikka aylanadi.

Agar chiziqli tenglamalar sistemasi hech bo‘lmaganda bitta yechimga ega bo‘lsa birgalikda bo‘lgan, aks holda, ya’ni yechimga ega bo‘lmasa, birgalikda bo‘lmagan

tenglamalar sistemasi deyiladi.

Shuningdek, agar birgalikda bo‘lgan tenglamalar sistemai yagona yechimga ega bo‘lsa aniqlangan, bittadan ko‘p yechimga ega bo‘lsa, aniqlanmagan tenglamalar sistemasi deb yuritiladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasining Gauss usuli

Biz endi chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish bilan yechim topildi.

Bu usulni ko‘rishdan avval biz kengaytirilgan matritsa usulini ko‘rib chiqamiz.

Bizga n o‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

Biz hozir berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi qanday qurilishini ko‘rsatamiz. Quyidagi sistema berilgan bo‘lsin:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Kengaytirilgan matritsani qurish uchun noma’lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsaning o‘ng tomoniga ozod hadlardan tuzilgan yangi ustun qo‘shiladi. Usulning asosiy goyasi berilgan sistemani unga teng kuchli bo‘lgan, lekin yechish oson bo‘lgan sistema bilan almashtirib, keyin hosil bo‘lgan sistemani yechishdan iborat. Yangi sistema odatda quyidagi amallarni bajarish natijasida bo‘ladigan bir nechta qadamlardan keyin hosil bo‘ladi:

1. 
   Tenglamani 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   
2. 
   Ikkita tenglamaning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir tenglamaga karrali tenglamani ikkinchisiga qo‘shish.
   

Kengaytirilgan matritsaning satrlari sistemadagi tenglamalarga mos kelgani uchun yuqoridagi uchta amal kengaytirilgan maritsa uchun quyidagicha bo‘ladi:

1. 
   Satrni 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytirish.
   

2. 
   Ikkita satrning o‘rnini almashtirish.
   
3. 
   Bir satrga karrali satrni ikkichisiga qo‘shish.
   

Bu amallar satrlar ustidaga elementar almashtirishlar deyiladi. Quyidagi misolni Yechish orqali bu amallarni qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.

4-Misol. Quyidagi tenglama berilgan:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

1 – satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shsak:

hosil bo‘ladi.

1 – satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shsak:

bo‘ladi.
2- satr elementlarini ga ko‘paytiramiz:

1- satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

2- satr elementlarini -2 ga ko‘paytiramiz:

1- satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga qo‘shamiz:

3- satr elementlarini ga ko‘paytirib 1-satr mos elementlariga qo‘shamiz

Demak, sistemaning yechimi x=1, y=2, z=3.

Yechimning kengaytirilgan matritsasidan x=1, y=2, z=3 ekanligi ko‘rinib turadi.
Matritsani bu shaklga keltirish uchun u quyidagi shartlarni bajarishi kerak:

1. 
   Agar 1- satr faqat 0 elementlardan tashkil topmagan bo‘lsa uning 1-elementini 1 ga tenglab olamiz. Buning uchun uning elementlarini a₁₁ ga bo‘lib chiqamiz.
   

2. 
   Agar qandaydir satrlar faqat 0 lardan iborat bo‘lsa bu satrlar matritsaning pastki qismiga joylashtiriladi.
   

3. 
   Elementlari 0 lardan iborat bo‘lmagan ketma-ket kelgan ikkita satrdan quyidagisining 1 ga teng elmenti yuqorisidagining 1 ga teng elementidan 1- ustun chapda joylashgan bo‘ladi.
   

4. 
   1-elementi mavjud ixtiyoriy ustunning boshqa elementlari 0 ga teng
   

bo‘ladi.
Endi kengaytirilgan matritsa ko‘rinishidagi quyidagi sistemalarni quraylik.