Ga intiladi, lekin

Isboti. a) {x_n} ketma - ketlik limitga ega, ya’ni lim x_n = a bo‘lsin. n^-да
U holda limitning ta’rifiga ko‘ra, Vs > 0 olinganda ham BN(s),(N(s)eN),Vn > N(s) uchun \x_n -a| < s tengsizlik bajariladi. {x_nk} ketma - ketlik, {x_n} ketma - ketlikning ixtiyoriy qismiy ketma - ketligi bo‘lsin.
k ^да da n_k ^да uchun BK,k > Kda n_k > N bo‘ladi. U holda, k ning yuqoridagi tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida | x^ - a |< s tengsizlik bajariladi. Bundan esa, lim x_nk = a kelib chiqadi.
b) {x_n} ketma-ketlik qismiy ketma-ketligini barchasi biror a limitga intilsin. Biz yuqorida takidlagan edikki, {x_n} ketma-ketlikning o‘zini ham qismiy ketma-ketlik deb qarash mumkin (bu holda n = n). U holda, {x_n} ketma-ketlik sifatida a limitga yaqinlashadi, ya’ni lim x_n = a.
n^rc>
■

3. 
   Eslatma. Ketma-ketlik, qismiy ketma-ketliklarining limiti mavjud bo‘lishidan, berilgan ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, {(-1)ⁿ⁺¹} ketma-ketlik limitga ega emas, lekin qismiy ketma-ketliklarning limitlari mavjud.
   
4. 
   Lemma (Bolsano-Veyershtrass). Har qanday chegaralangan sonli{x } ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketlik ajratish mumkin.
   

Isboti. Shartga ko‘ra {x_n} ketma-ketlik chegaralangan bo‘lgani uchun uning hamma elementlari biror [a,b] segmentda yotadi, ya’ni a < x_n < b (n = 1,2,...).|a,b] segmentni ^a^^b = d nuqta orqali teng ikki segmentga ajratamiz. Bu segmentlardan {x } ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘ziga saqlaganini [a₁, b₁] kesma orqali belgilaymiz. Bordiyu [a,d],[d,b] kesmalarning ikkalasi ham {x_n} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlasa, [a₁,b₁] kesma sifatida bu kesmalarning o‘ng tomonidagisini olamiz. So‘ngra, [a,b] kesmani ^a1 * ^b1 = d nuqta yordamida teng ikki kesmaga ajratamiz. a, d ],[d, b ]. Bu ikki segmentlardan {x_n} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlaganini [a₂, b₂] segment orqali belgilaymiz. Yana, bordiyu har ikkala segment ham o‘zida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlasa, [a₂,b₂] kesma sifatida bu kesmalarning o‘ng tomondagisini olamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijasida ichma-ich joylashgan segmentlar
[a1, b1] о [a₂, b₂] о ... о [a_n, b_n ] о ... ketma-ketligini hosil qilamiz.
Bunda, j9-qadamdagi [a_n, b_n ] kesmaning uzunligi

^bn - ^an
b - a _a > 0.
2ⁿ n^-X
Demak, ichma-ich joylashgan segmentlar haqidagi 1.8.4-, 1.8.7- teoremalariga asosan, [a,b] kesmaning yuqoridagi barcha kesmalariga tegishli c nuqta mavjud va yagona bo‘ladi.
Endi, {x_n} ketma-ketlikning, aynan shu c nuqtaga yaqinlashuvchi,
ya’ni lim x_n = c bo‘lgan qismiy ketma-ketlikning mavjudligini isbot nk X ^k
qilamiz.
Endi, {x} ketma-ketlikni quramiz: [a_n,b_n](n = 1,2,...) segment {x_n} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlarini o‘zida saqlaganini e’tiborga olgan holda, undagi {x_n} ketma-ketlikning elementlaridan birini olib, uni x deb belgilaymiz. So‘ngra [a₂,b] segmentdagi ketma-ketlikning
elementlaridan x elementdan keyin keladiganlaridan birini olib, uni x(n₁ < n₂) deb belgilaymiz. Bu jarayonni davom ettirib, natijada {x_n} ketma-ketlik elementlaridan tuzilgan x,x,...,x ,... (n₁ <n₂ <...<n_k <...) ketma-ketlikni hosil qilamiz. Ravshanki, x} ketma-ketlikning barcha elementlari a_k < x < b_k(k = 1,2,...) tengsizlikni qanoatlantiradi. Bundan esa, lim x_n = c ekanligi kelib chiqadi. ■ n^X ^k