Geometriya ” fanidan “Lobachevskiy tekisligiga Puankare tomonidan berilgan interpretatsiya”

Ta'rif 14.1. Ikki yo'naltirilgan to'g'ri chiziq berilsin va. Agar ular quyidagi shartlar bajarilsa, parallel deyiladi:
1.  a va b to'g'ri chiziqlar kesishmaydi;
2. a va b to'g'ri chiziqlarning ixtiyoriy A va B nuqtalari uchun ABB 2 burchakli har qanday ichki nur h a to'g'ri chiziqni kesib o'tadi (52 -rasm).
Biz parallel geometriyalarni maktab geometriyasi kursida odatdagidek belgilaymiz: a || b. E'tibor bering, Evklid tekisligidagi parallel chiziqlar bu ta'rifga mos keladi.
Teorema 14.3. Lobachevskiy tekisligida unga tegishli bo'lmagan to'g'ri chiziq va B nuqta berilsin. Keyin bitta yo'naltirilgan to'g'ri chiziq bu nuqta orqali o'tadi, shunda a to'g'ri chiziq b to'g'ri chiziqqa parallel bo'ladi.
Dalil. Keling, B nuqtadan BA perpendikulyarini a to'g'ri chiziqqa tashlaylik va B nuqtadan to'g'ri BA ga perpendikulyar tiklaymiz (56 a -rasm). P to'g'ri chiziq, ko'p marta ta'kidlanganidek, berilgan a to'g'ri chiziq bilan kesishmaydi. Unda ixtiyoriy C nuqtasini tanlaylik, AC segmentining nuqtalarini ikkita sinfga va. Birinchi sinfga shu segmentning S nuqtalari kiradi, ular uchun BS nurlari AA 2 nurlari bilan kesishadi, ikkinchi sinfga esa BT nurlari AA 2 nurlari bilan kesishmaydigan T nuqtalari kiradi. Keling, sinflarga bunday bo'linish AC segmentining Dedekind qismini hosil qilishini ko'rsataylik. 4.3 teoremasiga muvofiq (4 -bandga qarang), biz quyidagilarni tekshirishimiz kerak:
2.  va sinflar va A va Cdan boshqa nuqtalarni o'z ichiga oladi;
3. sinfning A dan boshqa har qanday nuqtasi A nuqtasi bilan sinfning istalgan nuqtasi o'rtasida joylashgan.
Birinchi shart aniq, segmentning barcha nuqtalari u yoki bu sinfga tegishli, sinflarning o'z ta'rifiga ko'ra umumiy nuqtalari yo'q.
Ikkinchi shartni tekshirish ham oson. Shubhasiz, va. Sinfda Adan boshqa nuqta bor; bu so'zni tekshirish uchun AA 2 nurining bir nuqtasini tanlab, uni B nuqtasiga ulash kifoya. Bu nur birinchi sinf nuqtasida BC segmentini kesib o'tadi. Sinfda C dan boshqa fikrlar ham bor, aks holda biz Lobachevskiy paralelizm aksiomasi bilan ziddiyatga kelamiz.