Geometriya ” fanidan “Lobachevskiy tekisligiga Puankare tomonidan berilgan interpretatsiya”

Hisobot 13.3.Lobachevskiy tekisligida o'zaro kesishmaydigan ikkita to'g'ri chiziq bor, ular uchinchi to'g'ri chiziq bilan kesishganda, ichki bir tomonlama burchaklar hosil qiladi, ularning yig'indisi ikkita to'g'ri burchakdan kam.
12 -§da biz Posidoniusning taklifini shakllantirdik: tekislikda berilgan chiziqdan yarim tekislikda joylashgan va undan teng masofada joylashgan kamida uchta kollinear nuqta bor. Biz 12.6 teoremasini ham isbotladik: Posidoniusning taklifi evklid geometriyasining paralellik aksiomasining tasdiqlanishiga tengdir. Shunday qilib, bu so'zni rad etish Lobachevskiy samolyotida harakat qiladi.
Hisobot 13.4. Lobachevskiy tekisligidagi to'g'ri chiziqdan teng masofada joylashgan va unga nisbatan yarim tekislikda joylashgan nuqtalar to'plami, o'z navbatida, bitta to'g'ri chiziqda yotmaydi.
Lobachevskiy tekisligida, to'g'ri chiziqdan teng masofada joylashgan va shu tekislikka nisbatan bir yarim tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalar to'plami egri chiziq hosil qiladi. Biz uning xususiyatlarini keyinroq ko'rib chiqamiz.
Endi Legendre taklifini ko'rib chiqing: n Biz isbotlagan 11.6 -teorema (11 -bandga qarang) buni tasdiqlaydi Demak, Lobachevskiy tekisligida bu taklifning mantiqiy rad etilishi o'rinli.
Hisobot 13.5. Har qanday o'tkir burchak tomonida shunday nuqta borki, bu nuqtada unga ko'tarilgan perpendikulyar burchakning ikkinchi tomonini kesib o'tmaydi.
Keling, Lobachevskiy tekisligining uchburchaklar va to'rtburchaklarining xususiyatlarini ko'rsataylik, ular 9 va 11 -bo'limlarning natijalaridan darhol kelib chiqadi. Avvalo, 11.1 -teorema. Buni bildiradi burchaklari yig'indisi ikkita to'g'ri burchak yig'indisiga to'g'ri keladigan uchburchak borligi haqidagi taxmin Evklid tekisligining parallelizm aksiomasiga tengdir. Bu va Legendrening birinchi teoremasidan (10.1 -teorema, 10 -bandga qarang) quyidagi gap keladi
Hisobot 13.6. Lobachevskiy tekisligida har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi 2d dan kichik.
Bu darhol buni anglatadi har qanday qavariq to'rtburchaklar burchaklar yig'indisi 4d dan kichik, har qanday qavariq n - gon burchaklar yig'indisi 2 (n -1) d dan kam.
Evklid tekisligida Saccheri to'rtburchagining yuqori poydevoriga ulashgan burchaklar to'g'ri burchaklarga teng, chunki 12.3 -teoremaga muvofiq (12 -bandga qarang), Evklid geometriyasining parallelizm aksiomasiga teng. quyidagi xulosa.
Hisobot 13.7. Saccheri to'rtburchagining yuqori poydevoriga ulashgan burchaklar o'tkir.
Lobachevskiy tekisligidagi uchburchaklarning yana ikkita xususiyatini ko'rib chiqish biz uchun qoladi. Birinchisi, Uollisning taklifi bilan bog'liq: tekislikda burchaklari teng, lekin qirralari teng bo'lmagan kamida bitta juft uchburchak bor. 11 -bo'limda biz bu taklif evklid geometriyasining parallel aksiomasiga teng ekanligini isbotladik (11.5 -teoremaga qarang). Bu bayonotning mantiqiy inkor qilinishi bizni quyidagi xulosaga olib keladi: Lobachevskiy tekisligida burchaklari teng, lekin tomonlari teng bo'lmagan uchburchaklar yo'q. Shunday qilib, quyidagi taklif to'g'ri.