Геометрия циркуля и линейки

§ 2. Задача Аполлония
Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех 
данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием 
Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, 
но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», 
как его называли современники.
Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта 
задача имеет 8 существенно различных решений.[2]
Глава 4. Построение правильных многоугольников.
Правильный (или равносторонний) треугольник — это правильный 
многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. 
Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 
60°. Чтобы построить равносторонний треугольник нужно разделить 
окружность на 3 равные части. Для этого необходимо провести дугу радиусом 
R этой окружности лишь из одного конца диаметра, получим первое и второе 
10
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: azizbek-kalbaev ([e-mail])

---

деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра. 
Соединив эти точки, получим равносторонний треугольник.
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и 
линейки. Ниже приведён метод построения через деление окружности на 6 
частей. Используем равенство сторон правильного шестиугольника радиусу 
описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров 
окружности описываем дуги радиусом R. Точки пересечения этих дуг с 
заданной окружностью разделят её на 6 равных частей. Последовательно 
соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник.
Построение правильного пятиугольника.
Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и 
линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на 
основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» 
около 300 года до н. э.
Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной 
окружности:
1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и 
обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин 
пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через 
точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её 
пересечение с прямойOB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
11
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: azizbek-kalbaev ([e-mail])

---

6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной
окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её 
другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G» в центре в одном из значений - сокращение слова.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её 
другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEG» в центре в одном из значений - сокращение словаHF.[3]