Геометрия циркуля и линейки

Глава 5. Неразрешимые задачи
Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:
• Трисекция угла — разбить произвольный угол на три равные части.
Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие 
угол на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача 
разрешима только тогда, когда например, трисекция осуществима для углов α =
360°rn при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе 
время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции 
угла циркулем и линейкой.[2]
12
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: azizbek-kalbaev ([e-mail])

---

• Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем 
и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.
В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Всё 
сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 
году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.[2]
• Квадратура круга - задача, заключающаяся в нахождении построения с 
помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному 
кругу.
Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 
арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что
квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью 
конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким 
образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности 
(трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача — 
построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис.
Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора. 
Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при 
использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения 
полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.
[2]
13
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: azizbek-kalbaev ([e-mail])

---