Giperbolik tipli tenglamalar

3. Tо‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi. Ushbu
(12)
tо‘lqin tenglamasini tekshiramiz. (12) tenglamaning xarakterstik tenglamasi

dan iborat. Tekshirib kо‘rish qiyin emaski, uchi nuqtada bо‘lgan xarakteristik konus deb ataluvchi
(13)
sirt (12) tenglamaning xarakterstikasidir. Endi xarakteristik sirtga о‘tkazilgan tashqi normalning yо‘nalishini topamiz.
Soddalik uchun deb hisoblaymiz. Bu normal о‘q bilan о‘tkir burchak hosil qilib, bu burchakning kosinusi musbat bо‘ladi. (13) tennlikning chap tomonini orqali belgilab olsak, differensial geometriyadan ma’lum bо‘lgan formulagi asosan

Bu tenglikdan quyidagi muhim munosabat kelib chiqadi

yoki
(14)
Demak, tashqi normal xarakteristik konusning о‘qi bilan 45⁰ burchak tashqil qilar ekan. Bundan darhol, xarakteristik konus yasovchilarining ham о‘q bilan 45⁰ burchak tashqil qilishi kelib chiqadi.
tekisliklar (12) tenglama uchun xarakteristik sirt bо‘lmagani sababli, da Koshi shartlarini berish mumkin.
4. Koshi masalasi. Shunday funksiya topilsinki, u sinfga tegishli bо‘lib, yarim fazoda (12) tenglamani va da
(15)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin.
Bu masala yechimining yagonaligini kо‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, fazodagi biror yopiq sharda (12) tenglama uchun qо‘yilgan ikkita Koshi masalasining boshlang‘ich funksiyalari ustma-ust tushsin.
Agar ikkala masala ham birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bо‘lgan yechimga ega bо‘lsa, u holda bu yechimlar yarim fazoda uchi nuqtadagi xarakteristik konusning ichida va chegarasida ustma-ust tushadi.
Bu ikki yechimni va orqali belgilasak, bu funksiyalar (12) tenglamani va (15) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. U holda bularning ayirmasi, ya’ni

funksiya
(16)
tenglamani ( deb hisoblaymiz) va
(17)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiradi. shardan tashqarida funksiyalar qiymatlarining qanday bо‘lishi biz uchun farqi yо‘q.
nuqtalarning fazosida xarakteristik konus va gipertekislik bilan chegaralangan sohani tekshiramiz. Bu sohaning ichida yoki chegarasida ixtiyoriy nuqtani olib xarakteristik konus hosil qilamiz.
Bu yangi konus va gipertekislik bilan chegaralangan sohani orqali belgilaymiz. soha gipertekislikda avvalgi sharning bir qismi bо‘lgan shar bilan chegaralangan. Bu yangi sharda (17) shartlar о‘rinli bо‘ladi. (16) tenglamaning har ikki tomonini ga kо‘paytirib, hosil bо‘lgan tenglikni soha bо‘yicha integrallaymiz:

Ushbu

ayniyatlarni e’tiborga olib, avvalgi tenglikni bunday yozib olamiz:

Bu integralga Gauss-Ostrogradskiy formulasini qo’llab,
(18)
tenglikni hosil qilamiz. Bu yerda sohani chegarasining elementini orqali belgilab olindi. (17) boshlang‘ich shartlarga asosan sharda ayniyatlar bajariladi. Oxirgi ayniyatni о‘zgaruvchi bо‘yicha differensiallab, sharda ayniyatni hosil qilamiz.
Demak, (18) tenglikda shar bо‘yicha olingan integral nolga aylanib, quyidagi tenglikka ega bо‘lamiz:

Bu tenglikning har ikki tomonini о‘zgarmas ga kо‘paytiramiz va (14) munosabatni e’tiborga olib,

yoki

tenglikni hosil qilamiz. Bundan konusda

Agar konus ixtiyoriy yasovchisining yо‘nalishini orqali belgilasak, oldingi tenglikka asosan,

tenglikka ega bо‘lamiz, chunki konusning yasovchisi konus sirtiga о‘tkazilgan normal bilan hamma vaqt tо‘g‘ri bursak tashqil qilgani uchun
Bundan konusning ixtiyoriy yasovchisida ekanligi kelib chiqadi. Jumladan, funksiyaning konusning uchidagi qiymati, yasovchisining gipertekislikda yotuvchi nuqtadagi qiymati bilan ustma-ust tushadi. Lekin bu nuqta (17) shartga asosan Bundan nuqta sohaning ixtiyoriy nuqtasi bо‘lgani uchun, bо‘ladi.
Shu bilan tо‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi isbot bо‘ldi.
Bu yagonalik bо‘lgan holda ham о‘z kuchini saqlaydi, ya’ni soha shar va yasovchilari о‘q bilan -45⁰ burchak tashqil qilib, yarim fazoda yotuvchi xarakteristik konus bilan chegaralangan bо‘lsa ham yechim bu sohada birdan-bir aniqlanadi.
funksiya (12) tenglamaga ( ) qо‘yilgan Koshi masalasining yechimi bо‘lib, tenglamaning о‘ng tomoni tayinlangan funksiya bо‘lsin.
Isbotlangan teoremadan shunday narsa kelib chiqadiki funksiyaning ixtiyoriy nuqtadagi qiymati boshlang‘ich funksiyalarning faqat shardagi qiymatlari orqali aniqlanadi.
Bu shar nuqta uchun bog‘liqlik sohasi deyiladi.
Agar bо‘lsa, nuqta uchun bog‘liqlik sohasi shardan iborat bо‘ladi.
Izoh. va lar qiymatlarining sharda berilishi, yechimning asosga ega bо‘lgan, yasovchilari о‘q bilan burchak tashkil qiluchi va о‘qi ga parallel bо‘lgan konuslardan tashqarida yotuvchi hech qanday A nuqtada aniqlamaydi.
Buni isbotlash uchun shunday yechim mavjud bо‘lib, lar sharda nolga teng bо‘lsa ham bо‘lishini kо‘rsatish yetarlichadir.
ixtiyoriy ikki marta differensiallanuvchi funksiya bо‘lib,
(19)
bо‘lsa,
(20)
funksiya (16) tenglamani qanoatlantiradi.
Haqiqatan,

Bundan darhol, (19) shartga asosan

(20) funksiya har qanday
(21)
gipertekislikda о‘zgarmas qiymatga ega bо‘lib, (21) gipertekisliklarning har biri о‘q bilan burchak tashqil qiladi. О‘zgarmas sonlarni shunday tanlab olamizki, (21) gipertekisliklar oilasining A nuqtadan о‘tadigan gipertekisligi sharni kesib о‘tmasin. Bundan sо‘ng, funksiyani shunday tanlab olish mumkinki, funksiya A nuqtada noldan farqli bо‘lib, sharda nolga teng bо‘lsin. U holda

izlangan yechim bо‘ladi.
Mavzuni mustahkamlash uchun savollar:
1. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi qo‘ying.
2. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini n=1 yozing.
3. To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimini n= 2 (Puasson formulasi) yozing.
4. To‘lqin tenglamasi uchun Kirxgof formulasi yozing.