Gorner sxemasi. Bezu teoremasi
Download 58.5 Kb.
|
1446971408 kopxad-ildizlarinig-umumiy-xossalariarxiv.uz(1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ildizlarning umumiy xossalari.
Ko’pxad ildizlarinig umumiy xossalari. Ko`phadlarning ildizlari Reja: Ko’pxadning ildizlari. Ildizlarning umumiy xossalari. Gorner sxemasi. Bezu teoremasi. Qadimda faqat ko`phadlarni ildizlarini o`rganish uchun algеbra fanini o`rganishgan.Endilikda bu yo`nalish asosiyligini yo`qotgan bo`lsa ham , lеkin bu yo`nalish muhimligini saqlab qolgan. Asosiy masala shundan iboratki, matеmatikaning ko`pgina masalalari oxir oqibatda bеrilgan ko`phadning ildizlarini yoki ildizlar to`plamini hisoblashga kеladi.Biz faqat ildizlarning sodda xossalarinigina o`rgana oldik.Komplеks sonlar maydoni C da ko`phad ildizini o`rganish uchun еtarli bo`ladi. Ildizlarning umumiy xossalari. 1.Ildizlar va chiziqli ko`paytuvchilar. Birlik elеmеntga ega bo`lgan A halqa butunlik sohasi K da yotsin. Ta'rif.Elеmеnt с К f(x) A[x] ko`phadning ildizi (yoki noli) deyiladi, agarda f( c ) = 0 bo`lsa. c son f(x) = 0 tеnglamaning ildizi ham dеyiladi. A halqani o`z ichiga oluvchi halqani qarash shu tomondan zarurligi tushunarli bo`ladiki, chunki f(x) = x2+1 ko`phad R ustida berilgan, biroq R da ildizga ega emas.Lekin f(i) = 0, i C=R[i].Avvalo biz K = A bo`lgan holni qaraymiz. 1- teorema.(Bezu teoremasi) Element с А f(x) A[x] ko`phadning ildizi bo`ladi faqat va faqat agarda f( х ) ko`phad A[x] halqada х-c ga bo`linsa. Isboti.Bu tеorеma biz avvallroq isbotlashimiz mumkin bo`lgan tasdiqning bir qismi, ya'ni qoldiqli bo`lish algritmidan quyidagi tеnglikni hosil qilamiz: f(x) = (x-c)q(x) + r(x) , bunda deg r(x) < deg (x-c) = 1. Demak r(x) – o`zgarmas son. Yuqoridagi tenglikda x o`rniga c ni qo`yish f(c ) = r tenglikni beradi. Shunday qilib, har doim f(x) = (x-c) q(x) +f(c ) (1) Xususan, f( c) = 0 f(x) = (x-c) q(x). Koeffitsеntlari A halqadan olingan f(x) ko`phadni x-c chiziqli ko`phadga bo`lishni Gornеr sxеmasi dеb ataladigan qoldiqli bo`lish algoritmiga qaraganda soddaroq bo`lgan usulni qaraymiz. f(x) = a0xn+a1xn-1+....+an ai A bo`lsin. (1) ifodaga asosan, q(x) = b0xn-1+b1xn-2+...+bn-1 bj A bo`ladi.Ushbu (1) formulaga x ni bir xil darajalari oldidagi koeffitsеnlarni tеnglashtirib, so`ngra bir oz soddalashtirib ,quyidagi jadvalni hosil qilamiz.
(2) ushbu jadvalda f ko`phadni x = c dagi qiymati hisoblanadi. (2) rеkurеnt munosabat «Gornеr sxеmasi» dеyiladi. Ta`rif. Element с А f(x) A[x] ko`phadning k karrali ildizi ( yoki k karrali noli) deyiladi, agarda f( х ) ko`phad (x-c)k ga bo`linsa, lekin (x-c)k+1 bo`linmasa. Ko`phadning 1 karrali ildizi oddiy ildiz, k = 2 yoki 3 bo`lishiga qarab ikki yoki uch karrali ildizi deyiladi.. Shunday qilib, с А f(x) A[x] ko`phadning k karrali ildizi bo`ladi, agarda f ( х) = (x-c)kg(x) bo`lsa, bunda (x-c, g(x) ) = 1 . (1) formulaga ko`ra esa g( c) 0 deg f = k + deg g bundan k deg f bo`ladi. Shunday qilib, quyidagi teorema o`rinli: 2-teorema. А butunlik sohasi. f 0 esa A[x] halqadagi ko`phad va c1,c2,....,cr lar esa uni mos ravishda k1,k2,....,kr karrali ildizlari bo`lsin. U holda f(x) = (x-c1)k1(x-c2)k2...(x-cr)kr g(x), g(x) A[x], g(ci) 0, i = 1,2,...r. bo`ladi. Xususan,f(x) A[x] ko`phadning ildizlari soni uni darajasidan katta bo`lmaydi: k1+k2+....+kr deg f (3) Isboti. Q(A) nisbatlar maydoniga o`tish etarli (agarda A halqa boshida maydon bo`lmasa) va x-c1,...,x-cr ko`paytuvchilarga bir qiymatli yoyilma Q(A)[x] halqada o`rinli ekanligidan foydalananishimiz mumkin.Likin bunga zarurat yo`q, quyidagicha fikrlaymiz. Shunday qilib, deg f = (k1+k2+....+kr )+ deg g , u holda (3) tengsizlikni f ni (x-c1)k1,....,(x-cr)kr ga bo`linish natijasini r bo`yicha induksiyalab isbotlaymiz. r = 1 da isbotlashni hojati yo`q.faraz qilaylik, bizga ma`lum bo`lsinki: f(x) = (x-c1)k1(x-c2)k2...(x-cr-1)kr-1 h(x), Shunday qilib, cr-c1 0,...cr-cr-1 0 va A butunlik sohasi bo`lsa, u holda cr ushbu (x-c1)k1(x-c2)k2...(x-cr-1)kr-1 ko`phadning ildizi bo`lmaydi.Lekin cr f ning kr- karraki ildizi, ya`ni f(x) = (x-cr)k u(x) ,shu sababli h(cr) = 0. Mos ravishda h(x) = (x-cr)s v(x) , s kr . U holda (x-cr)kr u(x) = f(x) = (x-c1)k1(x-c2)k2...(x-cr-1)kr-1(x-cr)s v(x), tenglikni hosil qilamiz. A[x] butunlik sohasida qisqartirish qonunidan foydalansak, s = kr degan fikrga kelamiz. А halqa butunlik sohasi bo`lsin degan shartni olib tashlasak, u holda 2-teorema o`rinli bo`lmay qoladi. Masalan, f(x) = x3 ko`phad Z8 halqada: f(0) = f(2) = f(4) = f(6) = 0 bo`ladi.f ni Z8[x] halqada yoyib quyidagi yoyilmalarni hosil qilamiz: f = x3 = x (x-4)2 = (x-2)(x2+2x+4) = =(x-6)(x2-2x+4) 2-teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi. Natija. Ikkita f, g A[x] ko`phadlar darajalari n bo`lsa va А butunlik sohasini n+1 ta har xil elementlariga ularni qiymatlari teng bo`lsa, u holda ular teng bo`ladi , ya`ni f = g bo`ladi. Download 58.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling