Gorner sxemasi. Karrali ildizlar

Gorner sxemasi.Karrali ildizlar
Reja:
1. Gorner sxemasi bo’yixha tushuncha.
2. Karrali ildiz ta’rifi.
3. Karrali ildizni Gorner sxemasi bo’yicha misollar yechish.

Agar x=α son f(x) ko’phadning ildizi bo’lsa, Bezu teoremasiga asosan f(x) ko’phadning x=α dagi qiymati r=f(α)=0 bo’lar edi. Qoldiqli bo’lish teoremasiga ko’ra f(x)= (x-α) (x)+r tengliklardagi (x) ning koefsentlarini va r qoldiq hadni hissoblashning bir usuli bilan tanishaylik.

Buning uchun (x) va r ni nomalum koeffisientlar yordamida quyidagicha yozib olamiz:
α₀xⁿ+ α₁x^n-1+…+ α_n-1xⁿ+ α_n=( x-α)(A₀x^n-1+ A₁x^n-2+…+ A_n-2x+ A_n-1)+r.
tengliklarning o’ng tomonidagi qavslarni ochib , ikkita ko’phadning tengligi ta’rifiga asosan , quyidagilarga ega bo’lamiz:
α₀= A₀ , α₁= A₁- α A₀ , α₂= A₂- α A₁, … α_k= A_k- α A_k-1 , … , α_n-1= A_n-1- α A_n-2
α_n=r- α A_n-1.
Bu tengliklardan A_i (i=0,n) larni va r ni quyidagicha aniqlaymiz :
A₀= α₀ , A₁= α₁+ α A₀ , A₂= α₂+ α A₁ , … , A_k= α_k+ α A_k-1 , … , A_n-1= α_n-1+ α A_n-2 ,
r= α_n+ α A_n-1 .
bu hisoblashlarni quyidagi Gorner sxemasi deb ataluvchi sxema yordamida ham bajarish mumkin :

	α0	α1	α2	…	αk	…	αn-1	αn
α	A0	A1	A2	…	Ak	…	An-1	R

Har bir A_k koefsentini topish uchun sxemada uning yuqorisidagi α_k va A_k dan oldin turgan A_k-1 ni α ga ko’paytirib qo’shish kerak.Agar (x) ko’phadni yana biror x-β ikkihadga bolish talab etilsa ,bu sxemani pastga qarab davom ettirish mumkin .Umuman olganda , ko’phadningning karrali ildizlarini topishda ham shu usuldan foydalaniladi.
Ta’rif. Agar f(x) ko’phad ^α(x) ko’phadga bo’linib ,lekin ^α+1(x) o’phadga bo’linmasa , u holda (x) ko’phad f(x) ko’phadning karrali ko’paytuvchisi deyiladi . Bu ta’rifga asosan f(x) ko’phadni
f(x)= ^α(x)*g(x) (6.2).
Ko’rinishida yozish mumkin .Bunda g(x) ko’phad (x) ga bo’linmaydi , chunki aks holda g(x)= (x) *h(x) ifodani (6.2) ga qo’yib ushbuni hosil qilamiz:
F(x)= ^α+1(x)*h(x) .Bu esa f(x) ning ^α+1(x) ga bo’linishini ko’rsatadi .
Masalan , f(x)= X⁵+x⁴+x³-x²-x-1 ko’phad uchun (x) =x²+x+1 ko’phad ikki karrali ko’paytuvchidir. Chunki f(x) ko’phad (x²+x+1) ² ga bo’linadi .Lekin (x²+x+1)³ ga bo’linmaydi .Demak , f(x)=(x+x+1)³ (x-1)² bo’ladi.
F(x)= x⁴+2x³+2x² +3x-2
uchun (x)= x³+2x-1 bir karrali ko’paytuvchi , chunki
F(x)= (x³+2x-1) (x+2) .
F(x)=5(x²-4)⁴(2x³+x-1)³ (x+1)(x⁴-3x³+1)⁵
Ko’phad uchun ₁(x) =x²-4 ko’phad to’rt karrali ko’paytuvchi , ₂(x) =2x³+x-1 ko’phad uch karrali ko’paytuvchi , ₃(x) =x+1 bir karrali ko’paytuvchi va ₄(x) =x⁴-3x³+1 ko’phad besh karrali ko’paytuvchi ekanligi ravshan.


1-misol . x³+4x²-3x+5 ko`phadni Gorner sxemasidan foydalanib , x-1 ga bo`lishni bajaramiz .

	1	4	-3	5
1	1	5	2	7

Demak, x³+4x²-3x+5 =(x-1)(x²+5x+2)+7.

Bezu teoremasidan P(x) ko`pxadni αx+b ko`rinishidagi ikkihadga bo`lishda hosil bo`ladigan r qoldiq p ga teng bo`lishi kelib chiqadi .
2-misol . P<sub>3</sub>(x)=x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+5x+7 ni 2x+1 ga bo`lishdan hosil bo`lgan qoldiqni toping .
Y e c h i s h . Qoldiq r=P₃ ga teng .