Guruh talabasi O’rinboyev Shohjahonning “Algebra va sonlar nazariyasi” fanidan

Farg’ona davlat

universiteti

fizika-matematika

fakulteti matematika

yo’nalishi

20.01 guruh talabasi

O’rinboyev Shohjahonning

“Algebra va sonlar nazariyasi”

fanidan

“Algebraning asosiy teoremasi”

mavzusida

yozgan mustaqil ishi.

ALGEBRANING ASOSIY TEOREMASI

Algebraning asosiy teremasi deb quyidagi teoremaga aytiladi:

1-teorema. Kompleks koeffitsiyentli musbat darajali har qanday ko’phad kompleks ildizga ega.

Isbot ikkita lemmaga asoslangan.

1-lemma. C dagi har qanday f(z) ko’phad uchun |f(z)| funksiya kompleks tekislikda o’zining eng kichik qiymatiga erishadi.

Isbot: Agar f(z) o’zgarmas bo’lsa, uning uchun tasdiqning o’rinliligi ravshan. Shuning uchun uni musbat darajali deb hisoblaymiz, yani

Ushbu

tenglik ravshan. Buning birinchi ko’paytuvchisi z→∞ da ∞ ga intilgani va ikkinchi ko’pay- tuvchi |a₀| ga intilgani sababli z→∞ da |f(z)|→∞. Shunga ko’ra, shunday r>0 haqiqiy son mavjudki, |z|>r bo’lganda |f(z)|>|f(0)|. Ikkinchi tomondan |f(z)| funksiya |z|≤r yopiq doirada uzluksiz b’lgani sababli Veyershtrass teoremasiga asosan doirada shunday z₀ nuqta mavjudki, doiradagi barcha z nuqtalar uchun |f(z)|≥|f(z₀)|. Xususan |f(0)|≥|f(z₀)| o’rinli.

Shunday qilib, |z|≤r doiraning nuqtalari uchun |f(z)|≥|f(z₀)| doiradan tashqaridagi nuqtalar uchun |f(z)|≥|f(0)|≥|f(z₀)| munosabat o’rinli. Bu munosabatlar |f(z₀)| son | f(z)| funksiyaning C dagi eng kichik qiymati ekanligi ko’rsatiladi.

2-lemma(Dalamber lemmasi). Agar f(z) musbat darajali ko’phad va f(z₀) ≠0 bo’lsa, u holda shunday hϵC mavjudki, |f(z₀+h)<|f(z₀)|.

Isbot: f(z) ko’phadning darajasi n bo’lsin u holda g(h)=f(z₀+h)/f(z­₀) funksiya ham h ga nisbatan n darajali ko’phad bo’ladi:

(1)

bu yerda C₀=1, chunki g(o)=1. Shunday k=(1≤k≤n) mavjudki , (1) ifodada i uchun C_i=0 va C_k≠0. U holda

Ifodaga kelamiz. Kompleks son modullarining xossalaridan foydalanib, ushbu

(2)

Tensizlikni olamiz. Endi h ni tanlashga o’tamiz. Uning moduli va argumenti qiymatlarini ayrim tanlaymiz. Ushbu

ko’phadning qiymati h=0 da nol bo’lgani va uning barcha hϵC da uzluksiz bo’lgani sababli z→0 P(h) → 0, yani shunday haqiqiy son ẟ₁>0 son mavjudki, |h|<ẟ₁ tengsizlikni qanoatlantiruvchi h lar uchun

(3)

tengsizlik o’rinli.

Bundan foydalanib (2) tengsizlikdan

(4)

tengsizlikni olamiz.

Endi h ni shunday tanlaymizki,

(5)

tengsizlik ham bajarillsin. Buning uchun h ning qiymatini

tengsizlikni qanoatlantirishi kifoya. Agar ẟ orqali ẟ_1, ẟ₂ sonlarning kichigini belgilasak, u holda |h|<ẟ tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha h lar uchun (3) va (5) tengsizliklar o’rinli. Endi h ning argumentini shunday tanlaymizki, ushbu

(6)

tenglik bajarilsin. Buning uchun

tenglik ya’ni

(7)

tenglik o’rinli bo’lishi kerak. Demak, h ning argument shunday tanlansa, u holda (6) tenglik o’rinli. (6) tenglikdan

kelib chiqadi. Bunga va (5) ga asosan

frmula yani |f(z₀+h)|< f(z₀). Bu bilan 2-lemma isbtlandi.

Endi 1-teorema isbotini oxirigacha yetkazish mumkun.

1-lemmaga asosan shunday z₀ ϵ C mavjudki, har qanday z ϵC uchun

|f(z₀)| ≤ |f(z)|. (8)

Agar f(z₀)≠0 bo’lsa , u holda 2- lemmaga asosan shunday h ϵ C mavjudki,

|f(z₀+h)|< |f(z₀)|.

Bu esa (8) tengsizlikga zid. Demak, f (z₀)= 0 , ya’ni z₀ son f(z) ko’phadning ildizidir.