Guruh talabasi O’rinboyev Shohjahonning “Algebra va sonlar nazariyasi” fanidan

NATIJA. Agar α₁ , α₂ ,… , α_n sonlar f(z) ko’phadning barcha turli ildizlari va k₁, k₂,…, k_s ularning karralisi bo’lsa, u holda

k₁+…+k_s =n

va

f(z)=a(z-α₁)­­^k1 (z-α₂)^k2…(z-α_s)k_s.

3-TEOREMA. ( Viet teremasi ). Agar z₁ , … , z_n sonlar f(z) = azⁿ + a₁z^n-1 +…+ a_n , ko’phadning ldizlari bo’lsa ( bu yerda har bir ildiz qancha karrali bo’lsa , shuncha marta hisoblangan ) u holda

z₁ + z₂ +… + z_n= - a₁/a

z_1*z₂ + z_1*z₃ + … + z_n-1*z_n = a₂/a

………………………………

z_1* z_2*… z_n = (-1)ⁿ a_n/a.

Bu yerda chap tomondagi k- formulaning har bir hadi z₁, z₂ , … , z_n ildizlar ichidagi k

tasining ko’paytmasidir. Chap tomondagi k formula esa esa barcha bunday ko’paytmalarning yig’indisidan iborat.

ISBOT: (9) ifodadan

(1/a) f(z) = (z-z₁)(z-z₂)… (z-z_n)=zⁿ – σ₁z^n-1 + σ₂z^n-2- … + (-1)ⁿ σ_n

Tensizlikni olamiz, bu yerda

σ₁= z₁ + z₂ + … + z_n ,

σ₂= z_1*z₂ + z_2*z­₃ +…+ z_n-1z_n ,

…………………………..

σ_n = z₁z₂…z_n.

Ushbu

zⁿ + (a₁/a) z^n-1 + (a₂/a) z^n-2+…+a_n/a=z_n– σ₁z^n-1 + σ₂z^n-2+…+(-1)ⁿσ_n

tenglikdan z ning bir xil darajalari oldidagi koeffissientlarning tengligi kelib chiqadi. Bu esa teoremaning isbotini beradi.

4-TEOREMA. Agar f(z) - haqiqiy koeffissientli ko’phad bo’lsa , u holda uni

f(z)= a(z-x₁)…(z-x_k)( z²+p₁z+q₁)…(z² + p_lz + q_l) (10)

ko’rinishida ifodalash mumkin, bu yerda a son f(z) ko’phadning bosh koeffissienti, x₁,x₂, … , x_k esa uning haqiqiy ildizlari ( har birining karrasi qancha bo’lsa , shuncha marta yozilgan), p₁, q₁, … , p_l, q_l shunday haqiqiy sonlarki, p_m² – 4q_m<0 , m= 1͞,l Bu ifoda ko’paytuvchilarning yozilish tartibi aniqligida yagonadir.

ISBOT: Dastlab, agar α son f(z) ko’phadning ildizi bo’lsa, ᾱ son ham ildizi ekanligini va ularning karralari tengligini ko’rsatamiz. Haqiqatan , agar f(z) =azⁿ + a₁z^n-1 +…+a_n va a, a₁,a₂ , … , a_n ϵR bo’lsa , u holda ͞f(͞z)͞= aẑⁿ + a₁ẑ^n-1 +…+ a_n=f(ẑ). Shunga ko’ra f(z)= (z-a)^k g(z) tenglikdan va g(α)≠0 munosabatdan f(z)= ͞͞͞f(͞z)͞ = (ẑ͞͞ -a)^kg͞͞͞͞͞(ẑ͞͞͞)=(z-ᾱ) g₁(z) kelib chiqadi , bu yerda g₁(z)=g͞(ẑ͞). Bundan g₁(ᾱ)=g͞(a͞) ≠0 munosabat kelib chiqadi. Bu agar a son f(z) ko'phadning iIdizi bo'lsa, u holda ᾱ son ham shu ko'phadning ildizi bo'’ishini va ularning karralari o’zaro teng ekanini ko’rsatadi. Endi α va ᾱ (α≠α) ildizlarga mos ko’paytuvchilarning ko’paytmasini qaraymiz:

(z-α)(z-ᾱ) = z² – (α+ᾱ)z + αᾱ= z²+pz + q.

Bu yerda p= -(α+ᾱ) , q=α*ᾱ = |α|² bo’lgani uchun p² – 4q = (α - ᾱ)²< 0, chunki α - ᾱ ≠ 0 -sof mavhum son. Endi (9) ifodada har bir kompleks α ildizga mos z – α ko’paytuvchini ᾱ - ildizga mos z - ᾱ ko’paytuvchiga ko’paytirib yozsak, α va ᾱ larning karrasi bir xilligiga ko’ra f(z) ko’phad (10) ko’rinishda yoziladi.

Keltirilgan Teorema va Ta’riflar asosida misollarga to’xtalamiz.

Misollar: bo’lsin. Bu ko’phadni ildizlarini topish talab etilgan bo’lsin. Buning uchun P(x)=0 deb olaylik.

Bu tenglamaning ildizlarini topamiz:

Agar biz =i deb oladigan bo’lsak, tenglamini ildizlarini quyidagicha yozish mumkun bo’ladi:

.

Demak P(x) ko’phad 2 ta haqiqiy 2 ta kompleks ildizga ega ekan. P(x) ko’had esa 4-darajali ko’phad edi. Bundan ko’phad 4-darajali bo’lsa 4 ta ildizi bor bo’lishi kelib chiqadi.

Mustaqil ishlash uchun misollar:

Quyidagi ko’phadlarni ildizlarini toping.