Guruhi talabasining

Izohli eslatma 
Bu uslubiy rivojlanish O'rta kasb-hunar ta'limi mutaxassisliklari uchun 
Federal Davlat Ta'lim Standarti asosida ishlab chiqilgan fan dasturi bo'yicha 
"Matematik" fanidan "Chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli bilan echish" 
mavzusida dars o'tkazish uchun mo'ljallangan. 
Gauss tipidagi kvadratur formulalar 
Gauss formulasi - aniq integrallarni taqribiy hisoblash uchun ishlatiladigan 
formula:+ A2/(x2)+...+AJ(xn)lbunda: At — koeffitsiyentlar; jc(. — abssissalar 
(bular maxsus jadvallarda beriladi). K. Gauss nomi bilan atalgan. 
Gauss egriligining 1-kvadratik formaning koeffsientlari va ularning 
xosilalari orqali ifodalanishi, birinchi va ikkinchi kvadratik formalar orasida 
bog`lanish yo`q emasligini bildiradi. Tabiiy ravishda bu formalar orasida boshqa 
bog`lanishlar yo`qmi? ( degan savol tug`iladi. Ma‘lum bo`lishicha bunday 
bog`lanishlardan yana ikkitasi mavjud ekan, yani 
Quyidagi kvadratur formulani qaraymiz: 
0
)
)(
2
(
)
)(
(
2
2
=
+
−
+
−
−
−
−
N
G
G
M
F
F
L
E
E
F
E
GL
FM
EN
M
L
F
EG
u
u
u
u
v
u
v

---

bu yerda p(x) > 0 vazn funksiya, Ak , xk, k = 0,1,...,n noma’lumdir. Bu 
noma'lumlarni shunday aniqlash lozimki, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n - 1 
ga teng bo'lsin. Quyidagi teorema o‘rinlidir.
Teorema. (1) kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ga teng 
bo’lishligi uchun uning tugun nuqtalari da p(x) > 0 vazn funksiya bilan darajali 
ortogonal ko‘phadning ildizlari boiishligi zarur va yetarlidir. 
Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-l 
bo’lsin. Tugun nuqtalami turli deb hisoblasak, (1) ning interpolyatsiyaligi 
ta’minlanadi. Teoremadagi ortogonal ko‘phadni Pn(x) deb belgilaylik. Darajasi n 
dan kichik boigan ixtiyoriy ko‘phad Q(x) ni olib, f ( x ) = Pn(x)Q(x) deylik. Bu 
ko'phadning darajasi 2n- l dan ortmaydi. Shuning uchun ham uni (1) formula aniq 
integrallaydi: 
Bu yerda, shartga ko‘ra, integral nolga teng, o‘ng tomon ham nolga teng 
bo’lishligi uchun Pn(xk)= 0, k = 1,2,...,n shartlar bajarilishi kiTiik. Q(xk) k ning 
barcha qiymatlari uchun nolga aylanmaydi, limnki u darajasi n dan kichik ixtiyoriy 
ko‘phad. Demak, Pn(xk)= 0, k = 1,2,...,n bo‘lsa, yuqoridagi tenglik bajariladi. 
Yetarliligi. Faraz qilaylik,(1) interpolyatsion va Pn(x) p(x)>0 vuzn bilan 
ortogonal ko‘phad bo‘lsin. Endi (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ligini 
ko‘rsatamiz. 
Agar f ( x ) darajasi 2n-1 dan katta bo‘lmagan ko‘phad bo’lsa, uni 
f ( x ) = Pn (x) Q(x) + R(x) (2) 
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda Q(x) va R(x) larning darajasi n dan 
kichik. Bu tenglikning ikkala tomonini p(x) ga ko‘paytirib, n dan b gacha 
integrallaymiz: 
Shartga ko‘ra, o‘ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi 
integraldagi R(x) darajasi n dan kichik ko‘phad bo‘lganligi, (l) ning 
interpolyatsionligi va (2) dan f ( xk)= R (xk) ekanligini etiborga olsak kelib 

---

chiqadi. Shu bilan yetarlilik sharti ham isbotlandi. Endi ortogonal ko‘phadning 
nollari haqidagi teoremani ko'ramiz. 
Qisqacha aytganda, quyida tavsiflangan usul to'g'ri ravishda Gauss-
Iordaniyani yo'q qilish usuli deb nomlangan, chunki bu 1887 yilda geodezist 
Vilgelm Jordan tomonidan tavsiflangan Gauss usulining o'zgarishi (shuni 
ta'kidlash kerakki, Vilgelm Jordan Iordaniya teoremasining muallifi emas egri 
chiziqlarda, Iordaniya algebrasi yo'q - bularning hammasi bir xil nomdagi uch xil 
olimdir; bundan tashqari, "Iordaniya" transkripsiyasi to'g'riroq, ammo "Iordaniya" 
yozuvi rus adabiyotida allaqachon aniqlangan). Iordaniya bilan bir vaqtda (va ba'zi 
manbalarga ko'ra undan ham oldinroq) ushbu algoritmni B.-I.Clasen ixtiro qilgani 
ham qiziq.
Gauss usulining butun mohiyati - berilgan matritsani elementar 
transformatsiyalar yordamida pog'onali (yoki aytilganidek, uchburchak) shaklga 
keltirish. Ushbu shaklda matritsaning asosiy diagonali ostida (yoki yuqorida) faqat 
nol bo'lishi kerak. 

---

Tizimni shu tarzda o'zgartirgandan so'ng, noma'lum Xn ma'lum bo'ladi va 
qolgan tengsizlikni teskari tartibda topishingiz mumkin, sistema tenglamalarida 
allaqachon ma'lum bo'lgan xes o'rnini egallab, birinchisigacha. 
Internet doimo yonida bo'lsa, siz tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida 
hal qilishingiz mumkin onlayn.Siz faqat onlayn kalkulyatorda imkoniyatlarni 
hisobga olishingiz kerak. Ammo tan olish kerakki, misol kompyuter dasturi bilan 
emas, balki o'zingizning miyangiz tomonidan hal qilinganligini anglash juda 
yoqimli. 

---

Xulosa 
Ushbu kurs ishi integralni taqribiy yechishning bir nechta ya’ni Simpson 
formulasi, To’g’ri to’rtburchaklar va trapetsiyalar formulasi, Interpolatsion 
kvadratur formulalari, Gauss tipidagi kvadratur formulalari va Chebishev tipidagi 
kvadratur formulalari batafsil yoritilgan. Bayon qilingan har bir usulga oid misollar 
yechib ko‘rsatilgan. Hozirgi davrda jadal sur’atlar bilan rivojlanib borayotgan 
jamiyat uchun ta’lim – eng muhim jarayonlardan biri hisoblanadi. Xalqning farovon 
turmush tarzi ta’limning nechog’li sifatli va samaradorligiga bog’liq. Bugungi kunda 
talabalarga sifatli ta’lim berishni tashkil qilishda ilmiy-tехnika taraqqiyoti mahsuli 
bo`lgan zamоnaviy aхbоrоt tехnоlоgiyalari va uning mоddiy asоsi kоmpyutеrlar 
хizmatidan kеng fоydalanish davr talabi bo’lib qоlmоqda. Xulosa o’rnida shuni 
ta’kidlash lozimki, ta’limning barcha sohalarida hayotimizga kirib kelayotgan yangi 
kompyuter texnologiyalaridan foydalanib, ta’lim sifati va samarasini oshirish hamda 
takomillashtirilish zarur. 

---

Foydalanilgan adabiyotlar 
1. 
Кленберг Дж.,Тардос Е.”Алгоритмы.Разработка и 
применение”.2016г.
2. 
Кормен Т.,Лейзерсон Ч.,Ривест Р.«Алгоритмы.Построение и 
анализ»,2013г.
3. 
Колдаев. Основы_алгоритмизации_и программирования. 2013 г.
4. 
Г.Уоррен «Алгоритмические трюки для программистов», 2014 г.
5.Internet ma`lumot (fayllar.org).