Гязянфяр рцстямов автоматик

1. Хцсуси щаллар. Ейлер-Лагранж тянлийинин щяллинин нисбятян садя 

олдуьу бязи хцсуси щаллара бахаг. 

1. Э функсийасы т-дян асылы дейил, йяни 

 

   

dt

)

,

(

G

J

т

0

t

t

x

x 





. 

Дцстур (9.20)-йя ясасян  

 

t

G

G

G

dt

dG



















x

x

x

x









. 

Бу  щалда  Э  функсийасы  замандан  асылы  олмадыьындан 

0

t

G







. 

Ейлер-Лагранж  (9.21)  тянлийиндя 

0

t

G







  олдуьундан  щяр  тяряфи 

x -я вурдугдан сонра йазмаг олар: 

 































x

x

x

x

x

x

x

x















G

G

G

2

2

2

. 

Алынмыш  тянликляри  тяряф-тяряфя  ъямляйиб  груплашдырма  апарсаг, 

аларыг: 

411 

 

 

0

G

G

G

G

dt

d













































x

x

x

x

x







. 

Бурадан  

 

const

c

G

G











x

x





.  

(9.24) 

Тянлик (9.24) Ейлер-Лагранж тянлийинин биринъи интегралы адланыр. Бу 

биртяртибли  диференсиал  тянлик  олуб  ашкар  шякилдя  т-дян  асылы  дейил. 

Бу сябябдян ону щямишя щялл етмяк мцмцкцндцр.  

Мисал 9.3. 

0

)

0

(



x

,

1

)

1

(



x

сярщяд шяртлярини юдяйян вя  

                        

dt

1

J

1

0





x

  

функсионалынын минимум гиймятини тямин едян 

)

t

(

x

 функсийасыны 

тапын.  

Бахылан щалда 

x

1

G



, 

2

1

G

x

x













 вя (9.24) тянлийи: 

 

   

c

1

1

2







x

x

x







 . 

Бурадан 

c

2



x

  вя  йа 

const

c

1





x

.  Бу  тянлийи  интегралласаг, 

аларыг: 

2

1

c

t

c





x

.  Интеграллама  сабитлярини  тапмаг  цчцн  сярщяд 

шярщядляриндян истифадя едяк. 

0

t



 олдугда 

0

c

0

2







x

. 

1

t



 

олдугда ися 

1

c

1

1







x

. Беляликля, оптимал щялл: 

t

)

t

(



x

. 

Тапылмыш щялли критеридя йериня йазсаг аларыг: 

1

J

min



. ▅ 

2. Э функсийасы  x -дан асылы дейил, йяни 

 

dt

)

t

,

(

G

J

т

0

t

t

x





. 

Бу щалда 

0

G







x

 олдуьу цчцн Ейлер-Лагранж тянлийи: 

412 

 

 

     

0

G

dt

d



















x

.  

(9.25) 

Бурадан 

const

c

G









x

.  Бу  тянликдян 

x

  дяйтшяни  т-дян  асылы 

функсийа  шяклиндя  тапылыр.  Сонра 

)

(t

x

  щяллини  тапмаг  цчцн  бу 

ифадяни интегралламаг лазымдыр: 

 

 

dt

)

t

(

)

t

(

т

0

t

t





x

x



. 

3. Э функсийасы йалныз  x -дан асылыдыр. Бу щалда  

  

 

dt

)

(

G

J

т

0

t

t





x

. 

Бахылан щалда (9.21) тянлийиндя  

 

0

G

t

G

G

2

2























x

x

x

x





. 

олдуьундан Ейлер-Лагранж тянлийи  

 

     

0

G

2

2







x

x







 

шяклини алыр.  

Ямсал сыфыра бярабяр олмадыьындан 

0



x



 олмалыдыр. Бу диференсиал 

тянлийин щялли  

 

      

2

1

c

t

c

)

t

(





x

. 

Интеграллама сабитляри 

2

1

c

,

c

трансверсаллыг шяртляриндян тапылыр. 

2. Чохюлчцлц щал. Бу щалда ахтарылан 

)

t

(

i

x

 функсийаларынын сайы н-

я  бярабярдир.  Йяни 

)

t

(

,

),

t

(

),

t

(

n

2

1

x

x

x



функсийалар  системи  н-

юлчцлц вектор тяшкил едир: 

 

      

т

n

2

1

)

,

,

,

(

)

t

(

x

x

x





x

. 

413 

 

Бу щалда функсионал 

 

      

dt

)

t

,

,

(

G

J

т

0

t

t





x

x 

 

Вектор  вя  йа  чохюлчцлц  щалда  Ейлер-Лагранж  тянлийи  щяр 

i

x  

дяйишяни  цчцн  тяртиб  олунмуш  н  сайда  диференсиал  тянликлярдян 

ибарят олан тянликляр системи шяклиндя алыныр:  

 

0

G

dt

d

G

i

i

























x

x



, 

n

,

,

2

,

1

i





.  

(9.26) 

Координат  формасындан  вектор  йазылыш  формасына  кечсяк,  йазмаг 

олар: 

 

 

0

G

dt

d

G

























x

x



 

Скалйар Э функсийасынын  x  вя  x  векторларына эюря тюрямяляри: 

 

0

G

,

,

G

,

G

G

т

n

2

1

































x

x

x



x

, 

 

0

G

,

,

G

,

G

G

т

n

2

1

































x

x

x









x

. 

Мцвафиг трансверсаллыг шяртляри дя вектор формасында йазылмалыдыр.  

Каноник  тянлик.  Бязи  щалларда  н  сайда  тянликдян  ибарят  олан 

(9.26) системиндян щяр бири биртяртибли олан 

n

2

 сайда тянликляр сис-

теминя кечид аналитик щяллин алынмасыны асанлашдырыр: 

 

i

i

p

H

t











x

,  

i

i

H

t

p

x













 

(9.26а) 

Бурада 

)

t

(

p

i

 гошма дяйишянляри, Щ – Щамилтон функсийасыдыр: 

 









n

1

i

i

i

)

t

(

p

H

x

)

t

,

,

(

G

x

x 

 

. 

Систем  (9.26а)  Ейлерин  каноник  тянликляр  системи  адланыр.  Йени 

)

t

(

p

i

  вя  Щ  функсийаларынын  дахил  едилмяси  нятиъясиндя  трансвер-

414 

 

саллыг шяртляри дя садяляшир. 

 

9.2.2. Трансверсаллыг шяртляри 

 

Истянилян  диференсиал  тянлийин  щялли  заманы  олдуьу  кими  Ейлер-

Лагранж  тянлийини  дя  щялл  етдикдя  интеграллама  сабитлярини  тапмаг 

цчцн  ялавя  шяртляр  олмалыдыр.  Цмуми  щалда,  бу  шяртляр  сярщяд 

шяртляри,  вариасийа  щесабында  ися  бир  гядяр  мцряккяб  олан  транс-

версаллыг  шяртляри  адланыр.  Мясялян,  Коши  мясялясиндя  бцтцн  н 

сайда  (н  диференсиал  тянлийин  тяртибидир)  сярщяд  шяртляри  башланьыъ 

0

t

t



  нюгтясиндя  верилир: 

0

0

)

t

(

x

x



.  Мясялянин  характериндян 

асылы олараг шяртлярин мцяййян щиссяси саь сярщяддя, йяни 

т

t  анын-

да  да  вериля  биляр.  Бу  тип  мясяляляр  сярщяд  мясяляляри  адланыр. 

Щятта  шяртляр  мцхтялиф  заман  анларында  верилярся,  беля  интеграл-

лама сабитлярини тапмаг мцмкцндцр. Бу тип мясяляляр чохнюгтяли 

сярщяд мясяляляри адланыр.  

Ейлер-Лагранж  тянлийи  икинъи  тяртиб  диференсиал  тянлик  олдуьундан 

трансверсаллыг  шярти  ики  интеграллама  сабитини  тапмаьа  имкан 

вермялидир. Яввялдя бахылмыш гейд олунмуш сярщяд нюгтяли вя 

т

t  

заманлы  мясялядя  трансверсаллыг  шярти  садяъя  олараг 

0

0

)

t

(

x

x



, 

т

т

)

t

(

x

x



 сярщяд шяртляриндян ибарят иди. 

Шякил  9.3-дя  сяпщяд  нюгтяляринин  гейд  олунуб-олунмамасындан 

асылы  олараг  верилмиш 

т

t   щалында  трайекторийаларын  щяндяси  тясвири 

эюстярилмишдир.  

 

415 

 

 

Шякил 9.3 

 

Шякил  9.3,  а)  гейд  олунмуш,  б)  гейд  олунмамыш  сярщяд 

нюгтяляриня, в) сярбяст сол, тярпянмяз саь, г) варианты ися тярпян-

мяз сол, сярбяст саь нюгтяляриня уйьундур. 

Даща чох раст эялинян щаллара бахаг: 

1. Интеграллама  щяддляри 

0

t ,

т

t   мялум,  сярщяд 

0

0

)

t

(

x

x



  вя  (вя 

йа) 

т

т

)

t

(

x

x



 гиймятляри сярбястдир вя щяр щансы бир шярт васитяси 

иля ялагяли дейилляр. 

Бу щалда (9.16) трансверсаллыг шяртиндя 

)

t

(

0



вя 

)

t

(

т



 даща сыфыра 

бярабяр  олмайыб,  сярбяст  олдуьундан  трансверсаллыг  шяртляри  даща 

цмуми  чохюлчцлц,  йяни 

n

1

0

,

,

,

x

x

x



чохдяйишянли  щал  цчцн 

ашаьыдакы шякилдя йазылыр: 

 

0

G

0

t

t

i









x

,  

0

G

т

t

t

i









x

,  

n

,

,

2

,

1

i





 .  

(9.27) 

Тянликляр  системинин  сайы 

n

2

  олдуьундан  (9.26)  Ейлер-Лагранж 

тянлийинин  цмуми  щяллиндян  мейдана  чыхан 

n

2   сайда 

i

c  

интеграллама  сабитлярини  тапмаьа  имкан  верир.  Щяр  щансы  бир 

i

x  

цчцн  сярщяд  шярти  верилярся,  онда  бу  дяйишян  цчцн  (9.27) 

мцнасибятини тяртиб етмяйя ещтийаъ йохдур. Гейд едяк ки, (9.27) 

a) 

b) 

г) 

в) 

416 

 

шяртляри  билаваситя  сярщяд  нюгтяляринин 

0

0

)

t

(

x

x



  вя 

т

т

)

t

(

x

x



 

гиймятлярини  тапмаьа  имкан  вермир.  Лакин 

i

c -ляр  тапылдыгдан 

сонра  сярщяд  нюгтяляринин  гиймятини 

)

t

,

с

(

)

t

(

x

x



  щяллиндя 

0

t

t



 

вя 

т

t

t



 йазмаг йолу иля щесабламаг мцмкцндцр. 

Мисал 9.4. Ашаьыдакы функсионалын минимал гиймятини тямин едян 

)

t

(

x

 трайекторийасынын тянлийини тапын: 

 

dt

)

2

1

(

J

2

0

2











x

x

x

x

x







. 

Сярщяд шяртляри 

0

)

0

(

x

x



 вя 

т

)

2

(

x

x



 габагъадан верилмяйиб вя 

онлары да оптимал тапмаг тяляб олунур.  

Интегралалты ифадяйя т дахил олмадыьындан бу мясяля цчцн (9.24)-я 

ясасян  Ейлер-Лагранж  тянлийи: 

1

2

c

2





x

x

.  Алынмыш  диференсиал 

тянлик  бир  тяртибли  олса  да,  гейри-хяттидир.  Ону  щялл  етмяйя 

чалышмайаг. Ейлер-Лагранж тянлийинин цмуми щал цчцн олан (9.21) 

ифадясиндян истифадя едяк.  

 

1

G









x

x



,  

1

G











x

x

x





,  

0

t

G







  

олдуьуну нязяря алсаг, тапарыг: 

 

1

G

2

2











x

,  

1

G

2













x

x 

,  

1

G

















x

x



. 

Беляликля, Ейлер-Лагранж тянлийи 

 

0

1

















x

x

x











. 

Бу  тянлийи  ардыъыл  олараг  ики  дяфя  интегралласаг,  цмуми  щялли 

тапарыг: 

 

2

1

2

c

t

c

2

t

)

(t







x

. 

Гейд  едяк  ки,  тапылмыш  щялл 

1

2

c

2





x

x

  гейри-хятти  тянлийини  дя 

юдяйир. 

417 

 

Интеграллама  сабитлярини  тапмаг  цчцн  (9.27)  трансверсаллыг 

шяртляриндян истифадя едяк: 

0

1

c

c

)

1

c

t

c

2

t

c

t

(

)

1

(

G

2

1

2

1

2

1

0

t

0

t

0

t





































x

x

x





; 

5

c

c

3

G

2

1

2

t













x

. 

Беляликля,  трансверсаллыг  шяртляри  ашаьыдакы  ъябри  тянликляр 

системиня эятирилир: 

 

1

c

c

2

1







, 

 

5

c

c

3

2

1







. 

Бурадан 

2

c

1





, 

1

c

2



 вя екстремалын тянлийи  

 

1

t

2

2

t

)

(t

2







x

. 

Сярщяд  гиймятляри 

1

)

0

(



x

  вя 

1

)

2

(





x

.  Функсионалын  минимал 

гиймяти 

4

/

3

J

min



. ▅ 

2. Яэяр  интеграллама  щяддляриндян  бири,  мисал  цчцн, 

т

t  

верилмяйибся, 

)

t

(

т

i

x

  саь  сярщяд  шярти  ися  верилибся,  онда 

)

t

(

i

x

 

екстремаллары ашаьыдакы шяртя табе олмалыдыр: 

 

0

G

G

i

n

1

i

i













x

x





,  

т

t

t



. 

3. Интегралын  ашаьы  щядди 

0

t   вя  сол  сярщяд  шярти 

0

0

)

t

(

x

x



 

верилмишдир.  Саь  сярщяд  нюгтяси  ися 

)

t

(

c

  яйрисинин  цзяриндядир, 

йяни  намялум  сон  анда 

)

t

(

c

)

t

(

т

т



x

  шяртини  юдянилир.  Бу  щалда 

трансверсаллыг шярти: 

 

0

G

G

)

c

(











x

x







, 

т

t

t



.  

(9.28) 

Мисал 9.5. 

1

)

0

(



x

  нюгтяси  иля 

t

2

)

t

(

c





  дцз  хятти  арасында  ян 

гыса  мясафяйя  уйьун  эялян 

)

t

(

x

  яйрисинин  тянлийини  тапын. 

418 

 

Мясялянин щяндяси тясвири шякил 9.4-дя эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 9.4 

 

Йолун узунлуьу 

 

         





т

t

0

ds

J

. 

 

Бурада 

ds

  яйринин  кичик  щиссясидир. 

2

2

2

)

dt

(

)

d

(

)

ds

(





x

  олду-

ьундан 

 

2

1

dt

ds

x





. 

Бу нятиъяни функсионалда нязяря алаг: 

 







т

t

0

2

dt

1

J

x

. 

Интегралалты  ифадяйя  йалныз 

x

  дахыл  олдуьундан  3)  хцсуси  щала 

уйьун олараг екстремалын тянлийи  

 

2

1

c

t

c

)

(t





x

. 

Беляликля,  екстремал  дцз  хятт  шяклиндя  алыныр.  Башланьыъ  нюгтя  

0

t

t

0





, 

1

)

0

(



x

 верилдийиндян, 

1

c

2



 тапмаг мцмкцндцр. 

Интеграллама 

1

c   сабитини  тапмаг  цчцн  (9.28)  трансверсаллыг 

шяртиндян истифадя етмяк лазымдыр.  

 

419 

 

 

1

c





 , 

2

/

1

2

)

1

(

G











x

x

x







, 

1

с



x

 

 

олдуьуну нязяря алсаг, тапарыг: 

1

c

1



. 

Инди  йазмаг  олар: 

1

t

)

(t





x

.  Бу  дцз  хяттин 

t

2

)

(t

c







x

  хятти 

иля кясишмя нюгтяси 

2

/

1

t

т



 тяйин етмяйя имкан верир. 

Шякил  9.4-дян  эюрцндцйц  кими,  оптимал  трайекторийа  мягсяд 

хяттиня  перпендикулйардыр  ки,  бу  да  цмумиййятля,  трансверсаллыг 

шяртляринин щяндяси мянасыны эюстярир.  

 

 9.2.3. Вариасийа щесабы цсулунун идаряетмя мясяляляриня