Гязянфяр рцстямов автоматик

9.2.4. Хятти-квадратик идаряетмя мясяляси 

 

Идаряетмя  обйектнин  тянлийи  хятти,  оптималлашдырма  критериси  ися 

квадратик олдлуьу щалда оптимал идарянин аналитик ифадясини алмаг 

мцмкцн  олур.  Хятти-квадратик  мясяляляри  юйряндикдя  цсулун 

бцтцн  инъяликлярини  ахыра  гядяр  излямяк  мцмкцн  олур.  Бу 

сябябдян  бу  тип  мясяляляри  юйрянмяк  методик  бахымдан  чох 

файдалыдыр. 

Бахаъаьымыз  хятти-квадратик  мясялядя  оптималлашдырма  критериси 

идаря тясиринин енержисини характеризя едир: 

 

dt

R

2

1

J

т

t

0

т

u

u





.  

(9.36) 

Обйектин тянлийи вектор шяклиндя: 

 

u

x

x

B

)

t

(

A

)

t

(







.  

(9.37) 

Сярщяд шяртляри: 

0

)

0

(

x

x



, 

0

)

t

(

т



x

. 

Бурада 

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 н-юлчцлц 

вязиййят 

вектору; 

т

m

2

1

)

u

,

,

u

,

u

(





u



 м-юлчцлц идаря вектору;  Р 



 симметрик мцс-

бят-мцяййян,  йяни 

0



u

  цчцн 

0

R

т



u

u

  шяртини  юдяйян 

m

m



-

юлчцлц  квадрат  матрис;  А 



n

n



-юлчцлц  вя  Б 



 

m

n



-юлчцлц 

матрислярдир. 

Гейд  едяк  ки,  бу  мясялядя  матрисляри  гейри-стасионар,  йяни 

елементляри замандан асылы олан 

)

t

(

A

, 

)

t

(

B

 вя 

)

t

(

R

шяклиндя дя 

эютцрмяк олар. 

Обйектин тянлийини 

 

0

B

A











x

u

x



   

(9.38) 

шяклиня эятиряк. Бу щалда (9.31) Лагранж функсийасы  

             

)

B

A

)(

t

(

R

G

т

т

x

u

x

λ

u

u













. 

(9.39) 

428 

 

Бурада 

))

t

(

,

),

t

(

),

t

(

(

)

t

(

n

2

1

т











λ

. 

Бу  мясялядя,  u   идаря  векторуна  вязиййят  вектору  кими  бахыл-

масына  бахмайараг  Ейлер-Лагранж  тянлийиндя  онлары  бир-бириндян 

айыраг: 

   

0

G

dt

d

G





























x

x



,    

0

G

dt

d

G





























u

u



 . 

(9.40) 

Бурада  

 

)

t

(

A

G

т

λ

x









 ,           

)

t

(

G

λ

x













, 

 

)

t

(

B

R

G

т

λ

u

u











,   

0

G









u

. 

(9.41) 

Бу ифадяляри (9.40) тянликляр системиндя йериня йазсаг бу мясяля 

цчцн  Ейлер-Лагранж  тянлийини  ашаьыдакы  тянликляр  системи  шяклиндя 

йазмаг олар. 

 

)

t

(

A

)

t

(

т

λ

λ







,  

(9.42) 

 

)

t

(

B

R

)

t

(

т

1

λ

u







.  

(9.43) 

Тянлик (9.42)-ни щялл едиб (9.43) ифадясиндя йериня йазаг. Бу щялл  

 

0

t

A

т

e

)

t

(

λ

λ





  

(9.44) 

олдуьундан оптимал идаря гануну 

 

0

t

A

т

1

т

e

B

R

)

t

(

λ

u





.  

(9.45) 

Бурада 

0

λ  башланьыъ шяртляр вектору намялумдур. 

Ифадя  (9.44)-дя 

t

A

т

e

ифадяси 

т

A   матриси  цчцн  кечид  матриси  олуб 

мцщяндис практикасында 

 

]

)

A

sI

[(

L

e

1

т

1

t

A

т









 

дцстурунун кюмяйи иля щесабланыр. 

429 

 

Вектор 

0

λ  мялум 

0

)

0

(

x

x



 вя 

0

)

t

(

т



x

 сярщяд гиймятляриндян 

асылы  олараг  тапмаг  мцмкцндцр.  Йяни  мясяляни  сярщяд 

мясялясиндян  бцтцн  шяртляри  йалныз  башланьыъ  анда  верилян  Коши 

мясялясиня эятирмяк мцмцкцндцр. 

Бу  мягсядля  обйектин  (9.37)  диференсиал  тянлийинин  Коши  фор-

масында олан щяллини йазаг: 

 















d

)

(

B

e

e

)

t

(

t

0

)

t

(

A

0

At

u

x

x

.  

(9.46) 

т

t

t



 нюгтясиндя 

0

)

t

(

т



x

 олдуьундан бу ифадяни  

 

dt

)

t

(

B

e

т

t

0

At

0

u

x









 

шяклиня  эятирмяк  мцмкцндцр.  Бурада  идарянин  (9.45)  ифадясинин 

йериня йазсаг, аларыг:  

 

dt

He

e

0

At

t

0

At

0

т

λ

x









. 

Вя йа  

 

0

т

0

)

t

(

K

λ

x



.   

(9.47) 

Бурада 

 

dt

He

e

)

t

(

K

t

A

t

0

At

т

т

т









, 

(9.48) 

 

т

1

B

BR

H





 . 

Яэяр 

n

n



-юлчцлц  К  матриси  ъырлашан  дейился,  йяни 

0

K

det



, 

онда  (9.47)  ифадясини  солдан 

)

t

(

K

т

1



  матрисиня  вуруб  йазмаг 

олар: 

 

0

т

1

0

)

t

(

K

x

λ





.   

(9.49) 

Беляликля, оптимал идаря гануну  

430 

 

 

0

1

t

A

т

1

K

e

B

R

)

t

(

т

x

u







.  

(9.50) 

Вязиййят  дяйишянлярини  тапмаг  цчцн  идарянин,  (9.49)  дцстуру  иля 

щесабланмыш 

0

λ   дахил  олдуьу  (9.45)  ифадясини  (9.46)  щяллиндя 

йериня йазмаг лазымдыр. 

Ифадя (9.50)-дян эюрцндцйц кими, оптимал тдаря гануну башланьыъ 

вязиййятдян  асылы  олан  програм  идаряси,  йяни  якс  ялагяли  дейил, 

замандан асылы олан, шяклиндя алыныр. Бу тип идаряни реаллашдырмаг 

цчцн  идаряетмя  системинин  тяркибиндя 

0

x   башланьыъ  вязиййятини 

гиймятляндирмяйя  имкан  верян 



башланьыъ  вязиййят  иденти-

фикатору



  олмалыдыр.  Яэяр 

0

x   тясадуфи  кямиййятдирся,  онда  онун 

рийази  эюзлямясиндян  истиыфадя  етмяк  олар.  Бу  щалда  даща 

идентификатора ещтийаъ олмур. 

Мисал 9.8. Яввялки мисалда оптимал идаря ганунуну тапмаг цчцн 

(9.50) дцстурундан истифадя едяк. Бу мисалда 

    















0

0

1

0

A

,  















1

0

B

 ,  

1

R



 ,  

т

0

)

1

,

1

(



x

 , 

2

t

т



. 

Яввялъя К матрисини щесаблайаг: 

 















































1

0

t

1

s

1

0

s

1

s

1

L

]

)

A

sI

[(

L

e

2

1

1

1

At

, 

 























1

t

0

1

]

)

A

sI

[(

L

e

1

т

1

t

A

т

 . 

 





























1

0

0

0

)

1

0

(

1

0

H

. 

 





































































dt

1

t

t

t

dt

1

t

0

1

1

0

0

0

1

0

t

1

K

2

0

2

2

0

 

431 

 

            

.

  

 

          





















































2

2

2

3

8

t

t

2

1

t

2

1

t

3

1

2

0

2

2

3

 

Бурадан  

 





























2

2

3

2

3

2

3

K

1

. 

Инди (9.50) дцстуруна ясасян оптимал идаря ганунуну тапмаг олар: 

 

2

7

t

3

2

7

3

)

1

t

(

1

1

2

2

3

2

3

2

3

1

t

0

1

)

1

0

(

)

t

(

u















































































. 

Эюрцндцйц кими, бу ифадя мисал 9.6-да алынмыш нятиъя иля ейнидир. 

9.2.5. Мящдудиййятляр бярабярсизлик шяклиндя олан  мясяляляр 

 

Техники  тятбиглярдя  бу  тип  мящдудиййят  шяртляри  даща  эениш 

йайылмышдыр. Физики  олараг бярабярсизлик шяклиндя  олан мящдудий-

йятляр биринъи нювбядя идаря тясириня 

max

min

u

u

u





 вя вязиййят 

дяйишяниня 

max

min

x

x

x





  тятбиг  олунур.  Бу  тип  мящдудиййятляр 



мювге  мящдудиййятляри



  адланыр.  Бярабярсизлик  шяклиндя  олан 

мящдудиййятляр гарышыг мящдудиййятляря дя тятбиг олуна биляр: 

 

B

)

u

,

,

(

A







x

x 

 

Бу тип мясялялярин мцхтялиф щялл цсуллары мювъуддур. 

1. Ъяримя  функсийалары  цсулу. Бу  цсул  тягриби  цсуллара  аид  олуб 

оптималлашдырма 

J

 критерисиня мцяййян тялябяляри юдяйян хцсуси 

ъяримя  функсийасынын  (вя  йа  функсийаларынын)  ялавя  олунмасына 

ясасланыр: 

432 

 

 

min

dt

)

u

,

,

(

g

J

J

т

0

t

t

1









x

x 

. 

Бу  щалда  мясяляни  щялл  етдикдя  мящдудиййятляри  билаваситя 

нязяря  алмайыб  оптималлашдырма  мясялясини  шяртсиз  екстремума 

щялл едирляр. Ъяримя функсийасы 

)

u

,

,

(

g

x

x 

 ашаьыдакы хассяйя малик 

олмалыдыр. Мящдудиййят юдянилярся,   g  кичик, позуларса 



 чох бю-

йцк гиймят алмалыдыр. Бу щалда 

1

J  критерисинин гиймяти артдыьындан 

вя  мясяля  минимума  щялл  едилдийиндян  дяйишянляр  еля  гиймят 

алмаьа чалышылаъаглар ки, критеринин гиймяти азалсын. 

Ъяримя  функсийалары  цсулу  мясяляни  рийази  програмлашдырма 

цсулларын кюмяйи иля щялл етдикдя даща сямярялидир. 

2. Валентайн  цсулу  (1937  ил).  Бу  цсул  дягиг  цсуллара  аид  олуб 

садя щалларда мясяляни аналитик щялл етмяйя имкан верир. Цсулун 

мащиййяти йени 

)

t

(



 дяйишянляри дахил етмякля бярабярсизлик шяк-

линдя  олан  мящдудиййятляри  бярабярлик  шяклиндя  олан  мящдудий-

йятляря чевирмякдян ибарятдир:  

    

)

t

(

]

A

)

u

,

,

(

)][

u

,

,

(

B

[

2

k

k

k

k

k













x

x

x

x





,  

r

,

1

k



.  

(9.51) 

Мясялян, 

1

u

1







 скалйар щалында бу бярабярлик: 

 

 

)

t

(

)]

t

(

u

1

][

1

)

t

(

u

[

2









 . 

Эюрцндцйц  кими 

)

t

(

u

  щядд 

1



  гиймятляриня  йахынлашдыгъа 

0

)

t

(





. 

)

t

(

u

  аралыг  гиймятляр  алдыгда  ися 

)

t

(



  сонлу  (нормал) 

гиймят алыр. Гейд едяк ки, 

)

t

(

2

k



 функсийалары габагъадан мялум 

олмайыб мясялянин щялли заманы тяйин олунур.  

Ифадя  (9.51)-и 

0

)

t

(

]

[

2

k

k













  шяклиня  эятириб  яввялдя  шярщ 

едилмиш Лагранж вуруглары цсулундан истифадя етмяк олар. Бу щалда 

кюмякчи функсийа: 

 

























n

1

i

k

*

i

i

n

1

i

i

)

t

(

)

t

(

G

G

. 

433 

 

Бурада  биринъи  ъям  обйектин  тянлийиндян  иряли  эялян  бярабярлик 

щалында олан 

0

i





 мящдудиййятлярини нязяря алыр. 

 

9.3. Максимум принсипи 

 

Оптимал  идаряетмя  нязяриййясинин  сонракы  вя  ящямиййятли 

дяряъядя  инкишафы  максимум  принсипи  иля  ялагядардыр.  Бу  принсип 

рус  рийазиййатчысы  академик  Л.С.Понтрйагин  вя  онун  мяктяби 

тяряфиндян  1953-56-ъы  иллярдя  ишлянилмишдир.  Классик  вариасийа 

щесабындан фяргли олараг, максимум принсипи мящз оптимал идаря-

етмя мясяляляринин щялли цчцн нязярдя тутулмушдур. Бу сябябдян 

бурадакы  анлайышлар  да  идаряетмядя  истифадя  олунан  анлайышлара 

даща йахындыр. 

Цсулун  ясас  цстцн  ъящяти  идаря  тясиринин  даща  цмуми  синиф  олан 

парчада  (щисся-щисся)  кясилмяз  функсийалар  синфиндя  тяйин  олуна 

билмясидир.  Бу  хцсусиййят  максимум  принсипини  кясилян 

системляря  дя  (мясялян,  реле,  дяйишян  структурлу  вя  с.)  тятбиг 

етмяйя имкан верир. 

1. Мясялянин  гойулушу.  Мясялянин  рийази  гойулушу  оптимал 

идаряетмя  мясяляляринин  яввялдя  верилдийи  (9.1) 



 (9.6)  цмуми 

гойулушундан фярглянмир: 

)}

t

(

u

,

),

t

(

u

{

t

t

m

2

1

n

2

1

0

m

1

т

0

min

dt

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

J













x

x

x

 , 

(9.52) 

 

)

u

,

,

u

,

u

;

,

,

,

(

f

dt

d

m

2

1

n

2

1

i

i



 x

x

x

x



 , 

n

,

1

i



  ,  

(9.53) 

 

j

j

U

u



,   

m

,

1

j



  ,  

(9.54) 

 

0

i

0

i

)

t

(

x

x



 , 

iт

т

i

)

t

(

x

x



 . 

(9.55) 

Бурада 

i

x  



 вязиййят дяйишянляри; 

j

u

 



 идаря тясирляри; 

j

U



 идаря 

тясирляринин  бурахыла  билян  гиймятляр  чохлуьу; 

0

i

x ,

iт

x  фаза 

трайекторийаларынын  башланьыъ  вя  сон  гиймятляри  (нюгтяляри)  вя  йа 

(9.53) диференсиал тянликляр системинин сярщяд шяртляридир.  

434 

 

Фярз  олунур  ки,  ахтарылан 

)

t

(

u

j

  идаряляри  парчада-кясилмяз 

функсийалар (мясялян, реле типли) синфиня дахилдир.  

Обйект (9.53)-ц башланьыъ 

0