Гязянфяр рцстямов автоматик

u

x

      

(9.66) 

 

 

max

j

min

j

u

u

u





,          

m

,

1

j



 

(9.67) 

    

0

i

0

i

)

t

(

x

x



,

n

,

0

i



; 

iт

т

i

)

t

(

x

x



,

n

,

1

i



; 

?

)

t

(

0

i

0

i









   (9.68) 

441 

 

 Фярз едяк ки, мясялянин аналитик щялли мювъуддур. Йяни оптимал 

идаря  ганунунун  рийази  ифадясини  алмаг  мцмкцндцр.  (9.65) -

 (9.68)  мясялясинин  щялл  ардыъыллыьы  ашаьыдакы  аддымлардан 

ибарятдир: 

 1.  (9.65)  ифадясиндян  Щамилтон  Щ  функсийасынын  максимум 

гиймятини  тямин  едян  оптимал  идаря  тяйин  олунур.    Щ-а 

ψ

  вя 

x

 

дахил олдуьундан тапылмыш идарянин ифадяси 

 

          

)

,

(

u

j

*

j

ψ

x





 

(9.69)  

шяклиндя олур.  

Яэяр  идаряйя  (9.67)  мювге  (вя  диэяр  шякилли)  мящдудиййятляр 

тягдим олунмайыбса, оптимал идаряни 

0

d

H

~

d



u

 мцнасибятиндян дя 

тяйин етмяк олар.  

2. Оптимал  идаря 

)

t

(

u

j

*

j





  програм  идаряси  шяклиндя  ахтарыл-

дыьындан 

)

t

(

x

x



, 

)

t

(

ψ

ψ



  заман  функсийасыны  тапмаг  цчцн 

идарянин  (9.69)  ифадясини  (9.66)  каноник  тянликляр  системиндя 

йериня йазыб ону (9.68) сярщяд шяртлярини нязяря алараг щялл етмяк 

лазымдыр. 

Яэяр 

*

j

u  тякъя гошма 

i



 дяйишянляриндян асылы алынарса вя (9.66) 

системинин икинъи блокуна 

x

 дахил олмазса (бах, минимум енержи 

мясяляси),  онда  конаник  системин  йалныз 

i



-лярдян  асылы  олан 

икинъи  блоку  щялл  олунур.  Бу  заман   

)

t

(

0

i



мялум  олмадыгда  н 

сайда  интеграллама  сабитини  щялялик  тяйин  етмяк  мцмкцн  олмур 

(бах, мисал 9.12). 

3. Тапылмыш 

)

t

(

i

x

  вя 

)

t

(

i



  заман  функсийалары  идарянин  оптимал 

(9.69) ифадясиндя йериня йазылыр. 

Максимум  принсипи  илкин  (9.52) - (9.55)  оптимал  идаряетмя 

мясялясинин  щяллинин  вариасийа  мясялясини  рийази  анализин  ящя-

миййятли дяряъядя даща садя мясяляси иля – йяни ади функсийанын 

(бурада  Щ)  максимум  гиймятини  тямин  едян  u   параметринин  та-

пылмасы иля явяз етмяйя имкан верир. 

Бянд  2-йя  ясасян  (9.66)  каноник  тянликляр  системиндян  (

442 

 

const

)

t

(

0





  мялумдур)  н  сайда 

)

t

,

(

)

t

(

0

i

i

ψ







, 

n

,

1

i



  вя  (

1

n



)  сайда 

)

t

,

(

)

t

(

0

i

i

x

x

x



, 

n

,

0

i



    дяйишянлярини  тапмаг  тяляб 

олунур.  Яэяр  башланьыъ 

0

0

~

)

t

(

~

x

x



  вя  сон 

т

т

~

)

t

(

~

x

x



  нюгтяляри 

верилярся, бу 

n

)

1

n

(





 сайда сярщяд шяртляриндян бир о гядяр дя 

i

c , 

1

n

2

,

,

2

,

1

i







  интеграллама  сабитлярини  (9.66)-ны  икинюгтяли 

сярщяд мясяляси кими щялл едяряк тяйин етмяк олар. 

Яэяр сярщяд шяртляри вя диэяр ялавя шяртляр даща мцряккябдирся, 

онда уйьун трансверсаллыг шяртлярини йазыб (9.66) каноник тянликляр 

системиня гошмаг лазымдыр. Чцнкц 

)

t

(

x

 вя 

)

t

(

ψ

 трайекторийалары 

бу шяртляри дя юдямялидир. 

Гошма  дяйишянлярин 

0

i



  башланьыъ  шяртляри  мялум  олсайды  

оптималлашдырма мясялясини икинюгтяли сярщяд мясяля кими дейил, 

даща садя олан Коши (сол шяртли мясяля) мясяляси кими щялл етмяк 

оларды.  Икинюгтяли  мясялянин  щялли  кимяся  чятин  эюрцнцрся, 

0

i



 

гиймятлярини  щесабламаг  олар.  Мцмкцн  алгоритмлярдян  бири  сон 

т

x   нюгтясиндян  нязарят  нюгтяси  кими  истифадя  олунмасыдыр.  Бу 

заман 

0

i



-лара  мцяййян  аьлабатан  башланьыъ  гиймятляри  вериля-

ряк (9.66) системи ади Коши мясяляси кими (йяни бцтцн шяртляр сол 

тяряфдя верилян мясяля  кими) щялл  олунур вя 

)

t

(

x

 трайекторийасы-

нын 

т

t

t



 анында мялум 

т

т

)

t

(

x

x



 нюгтясиня йахынлыьы йохланылыр. 

Яэяр  йахынлыг  гянаятбяхш  дейился,  мясялян  Евкилид  нормасы 

мянасында, онда 

0

i



-лар цчцн йени гиймят сечиляряк каноник тян-

ликляр  системи  йенидян  щялл  олунур.  Ялбятдя  йени  коррексийаедиъи 

0

i







  гиймяти  кортябии  сечилмяйиб  итерасийалы  щялл  просесинин 

йыьылмасыны тезлядирмяк цчцн мцяййян ганунауйьунлуьа табедир. 

Беляликля,  икинюгтяли  сярщяд  мясялясинин  щялли  Коши  мясялясинин 

чохдяфяли  щялли  иля  явяз  олунур.  Ясас  мягсяд 

0

ψ   гиймятинин 

тапылмасы олмайыб, 

)

t

(

x

 трайекторийасынын 

т

x  нюгтясиндян кечмя-

сини  тямин  едян 

)

t

(

u

  идарясинин  тапылмасындан  ибарятдир.  Бу  шярт 

юдянилдикдя мясяля битмиш щесаб олунур. 

443 

 

Классик вариасийа щесабы цсулунда олдуьу кими, икинюгтяли сярщяд 

мясялясинин  щяллинин  зярурилийини  максимум  принсипи  дя  арадан 

галдыра билмир.  

Диэяр  оптимал  идаряетмя  мясяляляриндя  олдуьу  кими  бахылан 

щалда  да  оптимал  идаря  цчцн  аналитик  щяллин  алынмасы  чох  надир 

щалларда  мцмкцн  олур.  Бу  щала  квадратик  функсионал  вя  хятти 

обйектдян  ибарят  олан  хятти-квадратик  мясяляляр  аиддир.  Аналитик 

щяллин  мювъуд  олмадыьы  щалларда  рийази  програмлашдырма  цсулла-

рындан истифадя едяряк мясяляни ядяди вя тягриби цсулларын кюмяйи 

иля компцтердя щялл едирляр.  

Инди  фярз  едяк  ки,  оптимал  идаряни  аналитик  цсулла  тяйин  етмяк 

мцмкцн  дейил  вя  йа  мцяййян  чятинликля  ялагядардыр.  Бу  щалда 

биринъи  аддымда  (итерасийада)  мялум 

)

t

(

,

),

t

(

),

t

(

0

n

0

1

0

0

x

x

x



  вя 

сечилмиш 

)

t

(

,

),

t

(

),

t

(

0

0

n

0

20

0

10









  гиймятлярини  щамилтонианын 

дискретляшдирилмиш (9.56) ифадясиндя йериня йазыб мящдудиййятляри 

нязяря  алараг  оптимал 

)

t

(

u

0

  тапмаг  лазымдыр.  Сонра  тапылмыш 

)

t

(

u

0

 гиймятини 

)

t

(

0

0

x

 вя 

)

t

(

0

0



 башланьыъ гиймятляри иля бирлик-

дя  дискретляшдирилмиш  каноник  (9.66)  тянликляр  системиндя  йериня 

йазыб 

t

t

t

0

1







 анында 

)

t

(

x

1

 вя 

)

t

(

1



 дяйишянляринин гиймятля-

рини  щесаблайырыг.  Нювбяти  аддымда  артыг  мялум 

)

t

(

x

1

  вя 

)

t

(

1



 

гиймятлярини йенидян щамилтонианын ифадясиндя йериня йазыб артыг 

йалныз  у-дан  асылы  олан  бу  ифадядян  йенидян  идарянин 

)

t

(

u

1

 

махсимал  гиймятини  тапырыг.  Сонра  бу  гиймяти  (9.66)-да  йериня 

йазыб 

)

t

(

x

2

  вя 

)

t

(

2



  гиймятлярини  тяйин  едирик  вя  с.  Беляликля, 

)

t

(

u

i

  оптимал  идаря  ардыъыллыьы  вя 

)

t

(

x

  трайекторийасынын  уйьун 

)

t

(

x

i

 гиймятляри тапылыр. Сонунъу итерасийада 

)

t

(

x

i

 трайекторийасы 

т

x  нюгтясиндян  кечмязся,   

)

t

(



-нин башланьыъ 

)

t

(

0



 гиймятини 

дяйишмяйиб щесабламалары йенидян тякрар етмяк лазымдыр. 

 

9.3.1. Максимум принсипинин бязи идаряетмя      мясяляляриня 

тятбиги 

 

Бу  мясялялярин  характерик  хцсусиййяти  ондан  ибарятдир  ки, 

444 

 

Щамилтон  функсийасынын  мах  гиймятини  тямин  едян  оптимал  ида-

ряни  хцсуси  оптималлашдырма  цсулларындан  истифадя  етмядян  тяйин 

етмяк мцмкцн олур. 

1. Хятти обйектляр.  Бу  щалда  идаряетмя  обйекти  хятти  тянликляр 

системи шяклиндя верилир: 

 

u

x

x

B

)

t

(

A

)

t

(







,  

0

)

0

(

x

x



.  

Идаря тясириня олан мящдудиййят 

U



u

садялик цчцн  

 

1

|

u

|

j



 ,    

m

,

1

j



 

шяклиндя верилмишдир. 

Кейфиййят критериси 

 

dt

)

,

(

f

J

т

t

0

0

u

x





. 

Бу щалда Щамилтон функсийасы , 

1

)

t

(

0







 олдуьу цчцн: 

 

)

,

(

f

)

,

(

f

)

,

,

(

H

0

т

0

u

x

λ

u

x

λ

u

x







 . 

Бурада   

 

т

n

1

)

,

,

(













λ

, 

т

n

1

)

f

,

,

f

(

)

,

(

f





u

x

. 

u

x

u

x

B

A

)

,

(

f





олдуьунданн  

 

u

λ

x

λ

u

x

λ

u

x

B

A

)

,

(

f

)

,

,

(

H

т

т

0









.  

(9.70) 

Бу щалда каноник тянликляр системи: 

            

































 

0

)

      

       

 

 

т

т

0

0

t

(

,

A

)

,

(

f

)

t

(

)

0

(

,

B

A

H

)

t

(

λ

λ

x

u

x

λ

x

x

u

x

λ

x





 

(9.70а) 

Бу  мясялядя  интегралалты 

)

,

(

f

0

u

x

  функсийасынын  шякили  мялум 

олмадыьындан  щялялик  Щ-ын  максимал  гиймятини  тямин  едян 

оптимал 

)

t

(

u

*

 идарясини сечмяк мцмкцн дейил. 

)

,

(

f

0

u

x

 квадратик 

форма шяклиндя верилдикдя оптимал 

)

t

(

u

*

 щяллинин аналитик шяклинин 

445 

 

тапылмасында мцяййян ирялиляйиш мцмкцндцр. 

2. Хятти-квадратик  оптимал  идаряетмя  мясяляси.  Бу  щалда 

оптималлашдырылан  функсионал  квадратик,  идаря  обйекти  ися  хятти 

шякилдя верилир: 

 

min

dt

)

M

2

R

Q

(

2

1

J

T

0

т

т

т











u

x

u

u

x

x

 

 

u

x

x

B

)

t

(

A

)

t

(







,  

0

)

0

(

x

x



, 

0

)

T

(



x

  

 

1

|

u

|

j



 ,    

m

,

1

j



 

Щамилтон функсийасы: 

   

u

λ

x

λ

u

x

u

u

x

x

B

A

M

R

5

.

0

Q

5

.

0

H

т

т

т

т

т













.  

(9.71) 

Каноник тянликляр системи: 

            





























 

0

)

      

       

 

 

T

(

,

A

M

Q

)

t

(

)

0

(

,

B

A

H

)

t

(

т

0

x

λ

u

x

λ

x

x

u

x

λ

x





 

(9.72) 

Системи 

0

x   башланьыъ  вязиййятдян  верилмиш  Т  мцддятиня 

0



т

x

 

вязиййятиня  эятирян  вя  бу  заман,  йяни  оптимал 

)

t

(

*

x

  трайек-

торийасы  цзря 

J

  критерисинин  минимал  гиймятини  тямин  едян 

(t)

*

u

 

идаря ганунунун тапылмасы тяляб олунур. 

Щамилтониан (9.71)  u -нун дахил олдуьу  

             

u

λ

u

x

u

u

B

M

R

5

.

0

т

т

т







  

ифадяси  максимал  гиймят  алдыгда  максимум  олур.  Бу  ифадядян 

т

u -ни мютярязя хариъиня чыхарсаг, аларыг:  

       

)]

B

M

(

R

[

R

)

B

M

R

(

т

1

т

т

т

λ

x

u

u

λ

x

u

u



















 . 

Бурадан оптимал идаря 

              

. 

,

  

)]

t

(

M

)

t

(

B

[

R

)

t

(

)}

t

(

{

SAT

)

t

(

т

1

*

x

λ

q

q

u









 

(9.73) 

446 

 

Бурада 

SAT

 оператору: 

              

 

 

яэяр   

     

          

 ,

 

яэяр   

    













1

|

|

)

t

(

1

|

|

)}

t

(

{

SGN

)

t

(

*

u

q

u

q

u

 

демякдир.  Оптимал  идаря  ганунун 

SAT

  алгоритми  цзря  дяйишмя 

характери  шякил  9.8-дя  эюстярилмишдир.  Шякилдя  а)  статик  харак-

теристика; б) заман характеристикасыдыр. 

 

 

                   а)                                        б) 

Шякил 9.8 

 

q  векторунун елементляри (

1

R



нязяря алынмадан): 

 















n

1

i

n

1

i

i

ij

i

j i

j

)

t

(

m

)

t

(

b

q

x

, 

m

,

1

j



. 

Цмуми  гайдайа  ясасян 

)

t

(

),

t

(

λ

x

  дяйишянлярини  тапыб  оптимал 

идарянин  ифадясиндя  йериня  йазмаг  лазымдыр.  Бу  заман  оптимал 

идаря ъари 

t

 заманында вя параметрляр кими 

0

x , 

0

t  вя Т-дян асылы 

олаъагдыр. 

)

t

(

x

 вя 

)

t

(

λ

 щяллярини тапмаг цчцн  u -нун (9.73) ифа-

дясини  (9.72)  каноник  тянликляр  системиндя  йериня  йазмаг  лазым-

дыр:  

             





























. 

       

 

 

)}

t

(

{

SAT

M

)

t

(

A

)

t

(

Q

)

t

(

,

)}

t

(

{

SAT

B

A

H

)

t

(

т

q