Гязянфяр рцстямов автоматик

x

λ









H



  блокуна 

x

  дахил  олмадыьындан 

2

λ -ни  тяйин  етмяк 

цчцн (9.70а) каноник системинин икинъи 

λ

λ

т

A

)

t

(







 щиссясини щялл 

етмяк  кифайятдир.  Бу  мясялядя 















0

0

1

0

A

. 















0

1

0

0

A

т

 

олдуьундан: 

 

0

)

t

(

1



λ

,  

1

2

)

t

(

λ

λ







. 

Щялл:  

 

)

0

(

)

t

(

1

1

λ

λ



,  

t

)

0

(

)

0

(

)

t

(

1

2

2

λ

λ

λ





. 

Щяр  бир  башланьыъ 

т

20

10

)

,

(

)

0

(

x

x



x

  нюгтясиня  уйьун  олараг 

)

0

(

),

0

(

2

1

λ

λ

 башланьыъ гиймятляри еля сечилмялидир ки, 

)

t

(

),

t

(

2

1

x

x

,  

трайекторийалары 

саь 

сярщяд 

т

т

)

0

,

0

(

)

t

(



x

  шяртини  юдясин,  йяни 

сонлу 

т

t   вахтына  координат  башланьы-

ъына дцшсцн. 

Бу 

мясялядя 

)

t

(

2

λ

 

дяйишмя 

функсийасыны  вязиййятя  нязярян  якс 

ялагя шяклиндя ифадя етмяк мцмкцн 

олур: 

      

1

2

2

2

|

|

5

.

0

)

(

)

t

(

x

x

x











x

λ

. 

Шякил 9.10-1-дя идаряетмя системинин 

фаза портрети эюстярилмишдир. 

Фаза трайекторийалары 

1

u





 гиймятляри цчцн  

 

c

5

.

0

2

1







x

x

 

параболаларындан  ибарятдир.  c  



 башланьыъ 

0

x   вязиййятдян  асылы 

олан сабитдир. 

 

Шякил 9.10-1 

455 

 

 

9.3.2. Хятти-квадратик оптимал идаряетмя мясялясиндя идаряйя 

мящдудиййят олмадыгда програм идарясинин тяйини 

 

Фярз едяк ки, оптималлашдырма критериси 

 

min

dt

)

R

Q

(

2

1

)

t

(

N

)

t

(

2

1

J

т

t

0

т

т

т

т

т











u

u

x

x

x

x

 , 

динамик обйект ися хяттидир: 

 

u

x

x

B

)

t

(

A

)

t

(







,  

0

0

)

t

(

x

x



 . 

Бурада да, яввялдя олдуьу кими, 

Q

,

N



 мцсбят-йарыммцяййян, 

R



 мцсбят-мцяййян,  цмуми  щалда,  гейри-стасионар,  йяни 

замандан асылы олан матрисляр; 

2

/

1



 ямсалы нятиъянин садя олмасы 

цчцн йазылмышдыр. 

Бу  щалда  идаряйя  мящдудиййят  гойулмадыьындан  о,  оптималлыьын 

зярури шяртиндян тапылыр: 

 

 

0

)

t

(

B

R

d

dH

т







λ

u

u

 

 

Бурадан оптимал идаря: 

 

 

)

t

(

B

R

)

t

(

т

1

λ

u







. 

Гошма 

)

t

(

λ

 дяйишяни замандан асылы олдуьундан идаря гануну да 

замандан асылы, йяни програм идаряси шяклиндя тяйин олунур. 

)

t

(

λ

 

дяйишяни 

)

t

(

N

)

t

(

т

т

x

λ

 



  саь  сярщяд  шяртиндя  (9.70а)  каноник 

тянликляр системинин икинъи блокунун щяллиндян тапылыр: 

     

)

t

(

N

t

(

),

t

(

Q

)

t

(

A

H

)

t

(

т

т

т

x

λ

x

λ

x

λ

















)

      

 



. 

 

0

N



щалында 

0

t

(

т



)

λ

. 

)

t

(

x

  вязиййят  дяйишяни  юз  нювбясиндя  обйектин  оптимал 

)

t

(

u

 

цчцн  йазылмыш  тянлийиндян  тяйин  олунур.  Даща  доьрусу, 

)

t

(

λ

  вя 

)

t

(

x

  цмуми  щалда  айры-айрылыгда  дейил,  каноник  (9.66)  тянликляр 

системинин икинюгтяли мясяля кими щяллиндян тапылыр: 

 

 

)

t

(

B

BR

)

t

(

A

H

dt

d

т

1

λ

x

λ

x













 

, 

456 

 

 

 

)

t

(

Q

)

t

(

A

H

dt

d

т

x

λ

x

λ















, 

 

 

)

)

    

,

т

т

0

t

(

N

t

(

)

0

(

x

λ

x

x





. 

Эюрцндцйц  кими, 

0

Q



  щалында 

)

t

(

λ

  гошма  дяйишянини  икинъи 

блокун щяллиндян тапыб биринъидя йериня йаздыгдан сонра ону щялл 

едиб 

)

t

(

x

 трайекторийасыны да тяйин етмяк мцмкцндцр. 

 

0

N



щалында  саь  сярщяд  шяртидя 

т

т

)

t

(

x

x



верилярся,  λ   цчцн 

сярщяд  шяртлярини  билмяк  лазым  дейил.  Беля  ки, 

n

2

  интеграллама 

сабитини бу сайда да 

0

x  вя 

т

x  сярщяд шяртляриндян истифадя етмяк-

ля тапмаг мцмкцн олур (бах, мисал 9.12). 

Мисал 9.12. Мцщяррикин  оптимал  идаряси.  Мялумдур  ки,  сабит 

ъяряйан мцщяррикинин тянлийи 

 

 

 

M

i

k

dt

d

J

2

2









 

шяклиндядир.  Бурада 

J



  мцщяррикин  лювбяринин  яталят  моменти; 



 



  мцщяррикин  валынын  дюнмя  буъаьы;  i  



  лювбяр  дюврясиндя 

ъяряйан  шиддяти;  k  



  конструктив  сабит; 



 



  магнит  сели; 

M



 мялум мцгавимят моментидир. 

 

 

J

k

a





, 

J

M

b



, 

u

i



, 





1

x

, 

2

dt

d

x





 

ишаря  етсяк,  верилмиш  тянлийи  нормал  формада  ашаьыдакы  кими  йаз-

маг олар: 

 

 

 

2

1

dt

d

x

x



, 

 

 

 

b

au

dt

d

2





x

. 

Вектор шяклиндя: 

 

 

457 

 

 

Q

B

A

dt

d







u

x

x

. 

Бурада 

т

2

1

)

,

(

x

x   



x



 вязиййят  вектору;  u



 скалйар; 















0

0

1

0

A

, 

т

)

a

,

0

(

B

  



; 

т

)

b

,

0

(

Q





  



 юлчцлян щяйяъанландырыъы тясирдир. 

Идаря  тясири  лювбяр  дюврясиндяки  ъяряйан  шиддятидир.  Верилмиш  Т 

заман  мцддятиндя  ян  аз  енержи  сярф  етмякля  мцщяррикин  валыны 

верилмиш  буъаг  алтында  дюндярян  идаря  ганунуну  тяйин  етмяк 

тяляб олунур.  

Енержи  идарянин  (бурада  ъяряйан  шиддяти)  квадраты  иля  дцз  мц-

тянасиб  олдуьундан  оптималлыг  критерисини  ашаьыдакы  шякилдя  сеч-

мяк олар:    

 

 

 

dt

u

J

т

0

t

t

2





. 

Бурада 

0

t , 

т

t



  гейд  едилмиш  (мялум)  вя 

0

1

t

t

T





  идаря 

мцддятидир. 

0

t

0



, 

s

1

T

t

т





, 

рад

1

)

T

(





 гябул едяк. 

Сярщяд шяртляри: 

 

 

т

т

0

0

т

20

10

)

0

,

0

(

)

,

(

)

,

(

)

0

(













x

x

x

, 

 

 

т

т

т

т

т

т

2

т

1

)

0

,

1

(

)

,

(

)

,

(

)

T

(













x

x

x

 . 

Щамилтон функсийасы: 

 

 

)

b

au

(

λ

λ

u

H

2

2

1

2











x

. 

Зярури шярт:  

 

 

 

0

a

u

2

du

dH

2











. 

Бурадан оптимал идаря: 

458 

 

 

 

 

2

a

5

.

0

u





.  

Гошма тянликляр системи: 

 

 



































. 

λ

H

dt

dλ

 ,      

0

H

dt

dλ

1

1

2

1

1

x

x

 

Щялл: 

 

 

1

1

c

λ



, 

2

1

2

c

t

c

λ







 

2

ac

t

2

ac

λ

2

a

u

2

1

2











 

. 

Идаря  цчцн  тапылмыш  ифадяни  обйектин  тянликляриндя  йериня  йазыб 

щялл етсяк, аларыг: 

 

3

2

2

2

1

2

2

c

t

2

b

2

c

a

t

4

c

a

)

t

(











x

 ,  

    

 

4

3

2

2

2

3

1

2

1

c

t

c

t

4

b

2

c

a

t

12

c

a

)

t

(













x

. 

Сярщяд шяртлярини нязяря алсаг, интеграллама сабитлярини тапарыг: 

 

0

c

)

0

(

4

1





x

, 

0

c

)

0

(

3

2





x

, 

2

1

a

24

c



 , 

2

2

a

b

2

12

c





. 

Демяли, оптимал идаря вя оптимал трайекторийа уйьун олараг: 

 

 

a

b

6

t

a

12

)

t

(

u









, 

 

 

2

3

1

t

3

t

2

)

t

(







x

, 

 

 

t

6

t

6

)

t

(

2

2







x

. 

Бу мясялядя алынмыш нятиъяляр классик вариасийа щесабы цсулу иля 

щялл олунан 9.7 мясяляси иля ейнидир. 

459 

 

 

9.3.3. Хятти-квадратик оптимал идаряетмя мясялясиндя 

вязиййятя эюря якс ялагяли идаря ганунун синтези 

 

Информасийа тяминаты бахымындан гейд едяк ки, бу мясялядя фярз 

олунур ки, 

)

t

(

x

 вязиййят векторунун бцтцн  елементлярини юлчмяк 

мцмкцндцр. 

Оптималлыг  критериси  яввялкилярдян бир гядяр фяргли  олуб, системин 

т

t   мцддятиня  верилмиш  сон 

т

т

)

t

(

x

x



  нюгтясиня  ня  дяряъядя 

йахынлашмасыны (хятаны) нязяря алан щяддин олмасы иля фярглянир: 

 

min

dt

)

R

Q

(

2

1

)

t

(

N

)

t

(

2

1

J

т

t

0

т

т

т

т

т











u

u

x

x

x

x

 . 

Бурада 

Q

,

N



 мцсбят-йарыммцяййян,  R



 ися мцсбят-мцяййян 

диагонал чяки матрисляри; 

т

t



 верилмиш тянзимлямя вахтыдыр.   

N



 терминал щяддин чяки матрисидир. Ону артырмагла 

т

x  нюгтясиня 

даща  да  йахынлашмаг  олар.  Лакин  бу  заман  идарянин  амплитуду 

бюйцйя биляр. 

Идаря обйекти хяттидир: 

 

u

x

x

B

)

t

(

A

)

t

(







,  

0

0

)

t

(

x

x



 . 

 Бу  мясялядя  ясас  хцсусиййят  u   идарясиня  мящдудиййятин 

мювъуд  олмамасыдыр.  Бу  сябябдян  оптимал  идаряни  тяйин  етмяк 

цчцн  оптималлыьын 

0

d

dH



u

  зярури  шяртиндян  истифадя  етмяк  олар. 

Щамилтонианын  (9.71)  ифадяси  иля  тяйин  олундуьуну  нязяря  алсаг, 

йаза билярик: 

 

0

)

t

(

B

R

d

dH

т

т







λ

u

u

. 

Бурадан оптимал идаря: 

 

)

t

(

B

R

т

1

λ

u







. 

Эюрцндцйц  кими,  оптимал  идаря  гошма 

)

t

(

λ

  дяйишяниндян  асылы 

тапылыр. Идаряни вязиййятдяy асылы ифадя етмяк цчцн  

460 

 

 

)

t

(

)

t

(

P

)

t

(

x

λ



 

Риккати явязлямясиндян истифадя едирляр. Бурада 

)

t

(

P

 матриси 

Q

)

t

(

P

B

BR

)

t

(

P

)

t

(

P

A

A

)

t

(

P

)

t

(

P

т

1

т















 

Риккати тянлийи адланан гейри-хятти матрис диференсиал тянлийин щял-

линдян тапылыр.  

)

t

(

)

t

(

P

)

t

(

N

т

т

т

x

x



 олдуьундан саь сярщяд шярти: 

  

 

N

)

t

(

P

т



. 

Беляликля, оптимал якс ялагяли идаря гануну 

 

)

t

(

)

t

(

K

x

u





 

шяклиндя алыныр. Бурада гейри-стасионар эцъляндирмя ямсалы: 

 

)

t

(

P

B

R

)

t

(

K

т

1





. 

Р  вя  Б  мялум  матрисляр  олдуьундан  эцъляндирмя  ямсалыны 

тапмаг  цчцн  Риккати  тянлийини 

N

P

т



  саь  сярщяд  шяртини  нязяря 

алмагла  якс  заманда  (саьдан  сола)  щялл  едиб 

)

t

(

P

  матрисинин 

елементлярини тапмаг лазымдыр. Тяяссцф ки, матрис тянлийинин ана-

литик щялли чох садя щалларда мцмкцн олур. 

Тянзимлямя мясяляси 





t

 шяклиндя оларса, гярарлашмыш режимдя 

тюрямя 

0

)

t

(

P





  олдуьундан  Риккати  тянлийи  ъябри  тянликляр 

системиня чеврилир.  

0

Q

P

B

BR

P

P

A

A

P

т

1

т



















. 

Айдындыр ки, бу щалда ахтарылан 

const

P





 олдуьундан 

const

K



 

олур. Гейд едяк ки, 

K

 эцъляндирмя ямсалы башланьыъ 

0