Гязянфяр рцстямов автоматик

f

 йекун 



удуш



  вектору алыныр.  

Ифадя  (9.78)-дян  эюрцндцйц  кими,  щяр  бир  мярщялядя  оптимал 

идаря о бири мярщялялярдян асылы олмайараг локал (тяърид олунмуш) 

шякилдя  тяйин  едилир  ки,  бу  да  динамик  програмлашдырманын  ясас 

цстцнлцйцдцр. 

Беллманын  функсионал  тянлийинин  щесабламалара  йюнялмиш  инъя-

ликляринин  тящлилиндян  ял  чякиб  сонунъу 

n

  сайда  мярщялянин 

башланьыъ вязиййятини 

0

x  ишаря едиб н артыгъа ону сцрцшдцрсяк, бу 

тянлийи ашаьыдакы символик шякилдя йазмаг олар: 

474 

 

 

)}

u

,

(

f

t

)

u

,

(

G

{

max

)

(

f

0

1

n

0

U

u

0

n

x

x

x











, 

(9.79) 

 

}

t

)

u

,

(

G

{

max

)

(

f

0

U

u

0

1







x

x

. 

Вязиййятя нязярян дискретляшдирмя нюгтяляринин сайы вя дяйишмя 

интервалы щяр бир мярщялядя ейнидирся, 

0

2

N

1

N

x

x

x













  олур. 

Бу  щалда  стасионар,  йяни  параметрляри  замандан  асылы  олмайан 

обйект  цчцн 

0

i

2

N

i

1

N

i

u

u

u













  шярти  дя  юдянилир.  Бу  хцсу-

сиййятляр  компцтердя  щесаблама  програмынын  тяртиб  олунмасыны 

олдугъа асанлашдырыр. 

(9.79)  шяклиндя  йазылмыш  ифадя  Беллманын  функсионал  тянлийини 

фасилясиз просесляр цчцн тяртиб етмяйя имкан верир.  

Мисал 9.14. Мцсбят  c  интервалыны еля 

N

 щиссяйя бюлмяк лазымдыр 

ки,  онларын  щасили  максимал  гиймят  алсын.  Щяр  бир  интервалын 

узунлуьуну 

]

c

,

0

[

 интервалында дяйишя билян 

1

N

1

0

u

,

,

u

,

u





иля ишаря 

едяк. Айдындыр ки,  

 

 









1

N

0

k

k

c

u

 

(9.80) 

мящдудиййяти юдянилмялидир. Бу мясялядя кейфиййят критериси  

 













1

N

0

k

k

1

N

1

0

N

u

u

u

u

J



. 

Бурада 

N

 заман мярщяляси олмайыб садяъя аддымын нюмрясидир.  

Эюрцндцйц  кими,  мясяля 

N

  аддымлы  гярар  гябул  етмя  мяся-

лясидир. Вязиййят  x  дяйишяни кими, щяр бир гярар гябул едилдикдян, 

йяни 

k

u   сечилдикдян  сонра  галан  интервалын  узунлуьуну  эютцряк. 

Бу  щалда,  просесин  моделини  (9.74)-я  уйьун  олараг  ашаьыдакы 

рекурент ифадя шяклиндя йазмаг олар: 

 

k

k

1

k

u







x

x

, 

1

N

,

,

1

,

0

n







 

(9.81) 

 

c

0



x

. 

475 

 

Бундан  башга,  вязиййятин  сон  гиймяти  цчцн 

0

N



x

  шярти 

юдянилмялидир.  Бу  шяртин  юдянилмяси  (9.80)  мящдудиййятинин 

хцсуси  олараг,  мясялян  Лагранж  вуруьунун  кюмяйи  иля,  нязяря 

алынмасы  зяруриййятини  арадан  галдырыр.  Беляликля,  тярпянмяз  сол 

вя саь нюгтяли оптималлашдырма мясяляси алыныр. 

Беллманын функсионал тянлийи:  

 

)}

u

(

f

u

{

max

)

(

f

n

N

1

n

n

N

]

c

,

0

[

u

n

N

n

n

N

















x

, 

N

,

2

n



   

 

}

u

{

max

)

(

f

1

N

]

c

,

0

[

u

1

N

1

1

N











x

. 

Мясялянин 

5

F

,

2

N

,

8

c







  цчцн  щялл  схеми  шякил  9.14-дя 

эюстярилмишдир.  Щяр  бир 

5

,

,

2

,

1

i

,

i





x

  дцйцн  нюгтясинин  кечидля-

риня уйьун эялян 

k

u  кямиййятляри (9.81)-дян алынмыш 

 

1

k

k

k

u







x

x

,  

0

,

1

k



 

ифадясиня ясасян 

k

x   вязиййят  дяйишянляринин  габагъадан  мялум 

гиймятляри  цчцн  щесабланыр.  Мясялянин  шяртиня  ясасян 

c

0



x

, 

0

2



x

  вя 

1

x   цчцн  мцнтязям  тор  сечиляряк  беш  дисктерляшдирмя 

нюгтяси эютцрцлмцшдцр: 

}

8

,

6

,

4

,

2

,

0

{

1



x

. Сон вязиййят 

0

2



x

 ол-

дуьундан 

5

,

,

2

,

1

i

,

1

i





x

  нюгтясиндян  бурайа  эятирян  йалныз  бир 

кечид мювъуддур. 

 

 

476 

 

Шякил 9.14 

 

Ъядвял  9.1-я  уйьун  щесабламалар  ъядвял  9.3  вя  ъядвял  9.4-дя 

эюстярилмишдир. 

 

 

 

     Ъядвял 9.3 

 

 

 

 

              Ъядвял 9.4 

 

         

1

n



 

 

 

 

           

2

n



 

 

i  

1

x  

1

u  

1

f  

2

x  

 

i  

0

x  

0

u  

1

0

2

f

u

f



 

1

x  

1 

8 

8 

8 

0 

 

1 

8 

0 

0

8

0





 

8 

2 

6 

6 

6 

0 

 

1 

8 

2 

12

6

2





 

6 

3 

4 

4 

4 

0 

 

1 

8 

4 

16

4

4





 

4 

4 

2 

2 

2 

0 

 

1 

8 

6 

12

2

6





 

2 

5 

0 

0 

0 

0 

 

1 

8 

8 

0

0

8





 

0 

 

Эюрцндцйц  кими, 

2

N



  щалында  оптимал  щялл 

4

u

0



,

4

u

1



  вя 

8

c



  парчасынын  ики  бярабяр  щиссяйя  бюлцнмясиндян  ибарятдир.   

Бу  щалда,  (9.80)  мящдудиййяти  дя  юдянилир.  Тясадцфян 

}

8

,

6

,

4

,

2

,

0

{

1



x

 чохлуьунун тяркибиндя 4 рягяминин олмасы бура-

да дягиг нятиъя алынмасына сябяб олмушдур.  

Цмуми щалда, истянилян  c  вя 

N

 цчцн оптимал щялл  c  парчасынын 

бярабяр 

N

 щиссяйя бюлцнмясиндян ибарятдир:  

 

 















N

c

,

,

N

c

,

N

c

}

u

{

k



, 

1

N

,

,

1

,

0

k







.  

Щасилин максимал гиймяти  

 

N

N

N

c

)

c

(

f















. 

Мисал  9.15.  Динамик  програмлашдырманын  комбинатор  цсулундан 

(йяни, 

бцтцн 

мцмкцн 

комбинасийаларын 

йохланылмасы) 

цстцнлцйцнц эюстярмяк цчцн шякил 9.15-дя эюстярилмиш шябякядя 

1  нюгтясиндян  6  нюгтясиня  щярякят  етдикдя  ян  гыса  (сярф  олунан 

заман мянасында) йолун тапылмасы мясялясиня бахаг. 

Кечидлярин  истигамяти  охлар  иля  эюстярилмишдир.  Кечидляр  йалныз 

477 

 

нюмряси кичик олан дцйцн нюгтясиндян нюмряси бюйцк олан дцйцн 

нюгтяляриня мцмкцндцр. Нюгтядян нюгтяйя щярякят етдикдя сярф 

олунан  заман  бу  нюгтяляри  бирляшдирян  хятлярин  йанында  йазыл-

мышдыр. 

 

 

Шякил 9.15 

 

Комбинатор цсулу. Бу щалда 1 нюгтясиндян 6 нюгтясиня мцмкцн 

олан  бцтцн  йоллар  арашдырылыб  оптимал  маршрут  сечилир.  Мцмкцн 

кечидляр вя уйьун йекун заманы ъядвял 9.5-дя эюстярилмишдир. 

  

 

 

             Ъядвял 9.5 

 

Маршрут  Вахт 

Маршрут 

Вахт 

1 2 5 6 

7 

1 2 3 4 5 6 

15 

1 3 5 6 

8 

1 2 3 4 6 

15 

1 2 3 5 6 

8 

1 3 4 5 6 

15 

1 2 4 6 

13 

1 3 4 6 

15 

 

 

Ъядвялдян  эюрцндцйц  кими,  ян  аз  вахт  тяляб  едян  (7  ващид) 

маршрут 1 2 5 6 нюгтяляриндян кечир. 

Динамик  програмлашдырма.  Мясяляни  щялл  етдикдя  сонунъу  4-6, 

5-6 кечидляриндян башлайаъаьыг. 

Ашаьыдакы ишаряляри гябул едяк: 

ij

t



  i  нюгтясиндян  j  нюгтясиня кечид вахты; 

i

f  



  i  нюгтясиндян  сон 6 нюгтясиня  щярякят  етдикдя сярф олунан 

478 

 

минимал заман. 

Бу щалда Беллманын функсионал тянлийи: 

 

}

f

t

min{

f

i

ij

i





, 

0

f

6



. 

Бу тянлийя ясасян мцвафиг щесабламалары йериня йетиряк: 

2

}

0

2

min{

}

f

t

min{

f

6

6

,

5

5











, 

5

5

0

5

5

2

3

min

f

t

f

t

min

f

6

6

,

4

5

5

,

4

4















































, 

5

5

2

3

12

5

7

min

f

t

f

t

min

f

5

5

,

3

4

4

,

3

3















































, 

6

7

5

2

6

2

4

12

5

7

min

f

t

f

t

f

t

min

f

3

3

,

2

5

5

,

2

4

4

,

2

2

































































, 

7

8

5

3

7

6

1

min

f

t

f

t

min

f

3

3

,

1

2

2

,

1

1















































. 

Заманын 

i

f  минимал гиймятляри вя уйьун маршрутлар шякил 9.16-да 

эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 9.16 

 

Схемдян  эюрцндцйц  кими,  заманын 

7

f

1



  минимал  гиймятиня 

уйьун  эялян  маршрут  1 2 5 6  нюгтяляриндян  кечир  ки,  бу  да  ком-

479 

 

бинатор цсулунда алынмыш нятиъя иля ейнидир.  

Бахылан  садя  мисалда  динамик  програмлашдырма  цсулунун 

цстцнлцйц  бир  о  гядяр  дя  нязяря  чарпмыр.  Беля  ки,  щяр  ики  щалда 

сяккиз  сятр  цзря  ъямлямяляр  апарылыр,  лакин  динамик  програмлаш-

дырма цсулунда бцтцн щесабламалар ики ъямдян ибарятдир. Дцйцн 

нюгтяляринин,  йяни  комбинасийаларын  сайы  артдыгъа  динамик  прог-

рамлашдырманын цстцнлцйц ящямиййятли дяряъядя артыр. 

 

9.4.2. Динамик програмлашдырманын фасилясиз            просесляря 

тятбиги  

 

Оптималлыг  принсипи  щяллин  зярурилийини  тямин  едир.  (9.79)  функ-

сионал  тянлийиня  уйьун  олан  хцсуси  тюрямяли  диференсиал  тянлийин 

алынмасынын  мцмкцнлцйцнц  эюстяряк.  Бу  тянлик  бязи  ядябиййат-

ларда Беллман тянлийи адланыр.  

Мясялянин  мащиййяти  яввялдя  олдуьу  кимидир.  Обйектин  тянлийи 

вектор  формасында  йазылмыш  диференсиал  тянликляр  системи  шяклиндя 

верилмишдир: 

 

    

)

t

,

,

(

dt

d

u

x

f

x



. 

(9.82) 

Башланьыъ  вязиййят 

0

0

)

t

(

x

x



. 

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 

n

-юлчцлц 

вязиййят  вектор;   

т

m

2

1

)

u

,

,

u

,

u

(





u



 

m

-юлчцлц  идаря  вектору; 

т

n

2

1

)

f

,

,

f

,

f

(





f

 



 цмуми щалда гейри-хятти вектор функсийадыр: 

 

dt

)

t

,

(

G

J

т

0

t

t





u

x,

 

(9.83) 

кейфиййят  критерисинин  минимал  (максимал)  гиймятини  тямин  едян 

вя 

U



u

  мящдудиййят  шяртини  юдяйян  u   идаря  тясирини  тапмаг 

тяляб олунур. Бундан башга, системин сон 

)

t

(

т

x

 вязиййяти габаг-

ъадан верилмяйиб, йяни сярбястдир. Финал 

т

t  заманы  ися гейд олу-

нуб. 

Фярз  едяк  ки,  шякил  9.17-дя  эюстярилмиш  оптимал 

)

t

(

x

  трайекто-

рийасы тапылмышдыр. 

Дискрет  вариантда  олдуьу  кими,  бурада  критеринин  минимал 

480 

 

(максимал) гиймятини 

f

иля дейил, бир чох мцяллифляря истинадян 

S

 

иля ишаря едяк: 

 

 

dt

)

t

,

(

G

min

]

t

,

[

S

т

t

t

U







u

x,

x

u

 . 

(9.84) 

 

Шякил 9.17

 

 

Ъари  t   аргументиня 

t



  артымы  вериб 

t

t

t

1







  ишаря  етдикдян 

сонра  (9.84)  интегралыны  ики  интегралын  ъями  шяклиндя  эюстярмяк 

олар: 

 

































dt

)

t

,

(

G

dt

)

t

,

(

G

min

)

t

,

(

S

т

1

1

t

t

t

t

t

t

U

u

x,

u

x,

x

u

.  

(9.85) 

Оптималлыг  принсипиня  ясасян  сонунъу 

]

t

,

t

[

т

1

  мярщялясиндя 

критеринин  гиймятини 



ещтийат



  етмядян  минималлашдырмаг  мцм-

кцн олдуьундан йаза билярик:  

 



























]

t

),

t

(

[(

S

dt

)

t

,

(

G

min

)

t

,

(

S

1

1

t

t

t

t

U

1

1

x

u

x,

x

u

.  

(9.86) 

Заман  аны 

t

t

t

1







  олдуьу  цчцн 

)

t

t

(

)

t

(

1







x

x

.  Функсийанын 

аргументин артымы нятиъясиндя алдыьы  гиймятини  ону 

t

  нюгтясинин 

кичик ятрафында Тейлор сырасына айырмагла тяйин етмяк олар: 

481 

 

 

  

)

t

(

t

dt

d

)

t

(

)

t

t

(

)

t

(

1

1

















ε

x

x

x

x

. 

(9.87) 

Бурада 

)

t

(

1



ε

  гейри-хятти  топлананлары  нязяря  алан  кичиклик 

дяряъяси 

t



-дян  бюйцк  олан  кичик  кямиййятдир  (бурада,  вектор-

дур). (9.87) ифадясиндя обйектин (9.82) тянлийиндян истифадя едяряк 

dt

dx  ифадясини явяз етсяк, аларыг: 

 

 

)

t

(

t

)

t

,

(

)

t

(

)

t

(

1

1











ε

u

x,

f

x

x

. 

(9.88) 

Хяттиляшдирмянин  мцмкцнлцйц  фярзиййясини  гябул  етсяк,  (9.86) 

ифадясиндяки 

S

 цчцн йазмаг олар: 

 

]

t

t

),

t

(

t

)

t

,

(

)

t

(

[

S

]

t

t

),

t

t

(

[

S

]

t

),

t

(

[

S

1

1

1

























