Haqiqiy yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

Ta'rif 1
Har bir vektor juftligi bo'lsa a , b n L, ba'zi qoidaga ko'ra, belgi bilan belgilangan haqiqiy sonni bog'lang ( a , b ) va shartlarni qondirish
1. (a , b ) = (b ,a ),
2. (a + bilan , b ) = (a , b ) + (bilan , b ),
3. (a a , b ) = a( a , b )
4. > 0 " a ¹ 0 u = 0 Û a = 0 ,
keyin bu qoida deyiladi skalyar ko'paytirish , va raqam ( a , b ) deyiladi skalyar mahsulot vektor a vektor uchun b .
Raqam chaqiriladi skalyar kvadrat vektor a va belgilang, ya'ni.
1) - 4) shartlar chaqiriladi nuqta mahsulot xususiyatlari: birinchisi mulkdir simmetriya(kommutativlik), ikkinchi va uchinchi - xususiyatlar chiziqlilik, to'rtinchi - ijobiy aniqlik, va w sharti shart deyiladi degenerativlik skalyar mahsulot.
Ta'rif 2
Evklid fazosi vektorlarni skalyar ko'paytirish amali kiritilgan haqiqiy chiziqli fazodir.
Evklid fazosi E bilan belgilanadi.
Skayar ko'paytmaning 1) - 4) xossalari deyiladi aksiomalar evklid fazosi.
Evklid fazolarining misollarini ko'rib chiqing.
· V 2 va V 3 fazolar Evklid fazolaridir, chunki ular bo'yicha barcha aksiomalarni qanoatlantiruvchi skalyar ko'paytma quyidagicha aniqlandi
Chiziqli fazoda R P(x) eng ko'p darajali ko'phadlar P vektorlarni skalyar ko'paytirish va formula bilan kiritilishi mumkin
Kiritilgan amal uchun skalyar mahsulot xossalarining bajarilishini tekshiramiz.
2) O'ylab ko'ring. Unda ruxsat bering
4) . Ammo har qanday sonlarning kvadratlari yig'indisi har doim noldan katta yoki teng bo'ladi va agar bu raqamlarning barchasi nolga teng bo'lsa, nolga teng bo'ladi. Demak,  , agar polinom nolga teng bo'lmasa (ya'ni uning koeffitsientlari orasida nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud) va  Û qachon, bu degani.
Shunday qilib, skalyar ko'paytmaning barcha xossalari qanoatlantiriladi, ya'ni tenglik R fazodagi vektorlarning skalyar ko'payishini belgilaydi. P(x) va bu fazoning o'zi Evkliddir.
Chiziqli fazoda R n vektor nuqtani ko'paytirish  vektor uchun  formula bilan aniqlash mumkin
Keling, buni ko'rsataylik har qanday chiziqli fazoda skalyar ko'paytirish aniqlanishi mumkin, ya'ni. har qanday chiziqli fazoni Evklid fazosiga aylantirish mumkin. Buning uchun L bo'shliqni oling n ixtiyoriy asos ( a 1 , a 2 , …, a P). Bunga asos bo'lsin