Haqiqiy yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

p o’lchovli yevklid fazosi
T a ‘ r i f . Eltuvchisi V_Ebo’lgan (p o’lchovli vektorli yevklid fazosi) p o’lchovli affin fazo p o’lchovli yevklid fazosi deb ataladi va Ye_pbilan belgilanadi.
Demak, elementlari nuqta va vektor deb atalgan bo’sh bo’lmagan to’plamI_1-4, II_1-4, III_1-2 aksiomalarni qanoatlantirsa, u to’plam n o’lchovli yevklid fazosi bo’ladi.
Ta’rifdan ko’rinadiki, p o’lchovliaffin fazoning barcha ta’rif va teoremalari Ye_pda ham o’z kuchini saqlaydi.
E_pdagi nuqtaning koordinatalaryaii 30- § dagidek ta’riflasak hamda dekart reperini B = { }deb olsak ortonormalangan bazis), u holda uch o’lchovli yevklid fazosi singari Ye_pda qator masalalarni hal qilish mumkin. Biror dekart reperida A(x₁ x₂..., x_p), V(y₁y₂, . . . , u_p) ni olaylik.
Ta’rif. Ye_p dagi A,B nuqtalar aniqlagan vektor uzunligi shu ikkinuqta orasidagi masofadeb ataladi va r(A, V) bilanbelgilanadi.
Ta’rifga asosan . 30-§ dagk (13) ni eslasak, (39) formuladan:
(41)
Bu formula Ye_ndagi ikki nuqta orasidagi masofanitopish formulasidir.
Teorema. Ye_pdagi ixtiyoriy uchta A, V, S nuqta uchun
o’rinlidir.


2.2. Yevklid fazolarining ta'rifi va chiziqli almashtirishlar.
Geometriyada uchragan jismlarning ko'pgina xossalari segmentlar uzunligini va chiziqlar orasidagi burchakni o'lchash qobiliyati bilan chambarchas bog'liq. Chiziqli fazoda biz hali bunday o'lchovlarni amalga oshira olmaymiz, buning natijasida chiziqli fazolarning umumiy nazariyasini geometriyaga va boshqa bir qator matematik fanlarga qo'llash sohasi ancha toraydi. Biroq, bu qiyinchilikni ikkita vektorning skalyar mahsuloti tushunchasini kiritish orqali bartaraf etish mumkin. Ya'ni, chiziqli o'lchovli haqiqiy fazo bo'lsin. Keling, har bir vektor juftiga haqiqiy raqamni tayinlaymiz va bu raqamga qo'ng'iroq qilamiz skalyar mahsulot vektorlar va agar quyidagi talablar qondirilsa:
1. (kommutativ qonun).
3. har qanday haqiqiy uchun.
4. nolga teng bo'lmagan har qanday vektor uchun.
Skalar mahsulot kontseptsiyaning alohida holatidir ikkita vektor argumentining sonli funksiyasi, ya'ni qiymatlari raqamlar bo'lgan funksiya. Shuning uchun, argumentlarning har qanday qiymatlari uchun qiymatlari haqiqiy bo'lgan va 1 - 4 talablari qondiriladigan vektor argumentlarining sonli funktsiyasini skalyar mahsulot deb atashimiz mumkin.
Nuqta mahsuloti aniqlangan haqiqiy chiziqli fazo chaqiriladi Evklid va bilan belgilanadi.
E'tibor bering, Evklid fazosida nol vektor va har qanday vektorning skalyar ko'paytmasi nolga teng: . Haqiqatan ham, va talabga ko'ra 3 . Aytaylik, biz buni tushunamiz.
1. Nuqtada boshi umumiy bo'lgan geometrik vektorlarning oddiy uch o'lchovli fazosi bo'lsin. Analitik geometriyada bunday ikkita vektorning skalyar koʻpaytmasi ga teng haqiqiy son boʻlib, bu yerda va vektorlarning uzunliklari va , vektorlar orasidagi burchak , ga teng boʻlib, barcha 1 − 4 talablar qanoatlantirilishi isbotlangan. bu raqam.
Shunday qilib, biz kiritgan skalyar ko'paytma tushunchasi geometrik vektorlarning skalyar ko'paytmasi tushunchasini umumlashtirishdir.
2. Haqiqiy koordinatali bo'shliq - o'lchovli qatorlarni ko'rib chiqing va har bir juft va shunga o'xshash qator vektorlariga haqiqiy sonni belgilang.
Ushbu raqam uchun 1 - 4 barcha talablar bajarilishini tekshirish oson:
va shunga o'xshash. Nihoyat,
chunki da raqamlarning kamida bittasi noldan farq qiladi.
Bu erdan ko'ramizki, bu son qator vektorlarining skalyar ko'paytmasi va , fazo esa shunday skalyar ko'paytmani kiritganimizdan keyin Evklidga aylanadi.
3. Chiziqli real o'lchamli fazo bo'lsin va uning bazisi bo'lsin. Keling, har bir vektor juftiga haqiqiy sonni belgilaylik. Keyin bo'shliq Evklidga aylanadi, ya'ni son vektorlarning skalyar ko'paytmasi bo'ladi. Haqiqatdan ham:
Hatto boshqa yo'llar bilan bizning fazomizni Evklid qilishimiz mumkin, masalan, biz vektorlar juftligiga haqiqiy sonni belgilashimiz mumkin.
Bunday son uchun skalyar ko'paytmani tavsiflovchi 1 - 4 barcha talablar qanoatlantirilishini tekshirish oson. Ammo bu erda (xuddi shu asosda) biz boshqa raqamli funktsiyani aniqlaganimiz sababli, boshqa "o'lchov ta'rifi" bilan boshqa Evklid fazosi olinadi.
4. Nihoyat, bir xil bo'shliqqa murojaat qilib, raqamli funktsiyani ko'rib chiqing, u uchun , tenglik bilan aniqlanadi. Bu funksiya endi skalyar mahsulot emas, chunki 4-talab buzilgan: uchun, vektor , a ga teng. Shunday qilib, bu erdan Evklid fazosi olinmaydi.
Skayar mahsulotning ta'rifiga kiritilgan 2 va 3 talablardan foydalanib, quyidagi formulani olish oson:
Bu yerda , vektorlarning ikkita ixtiyoriy tizimi. Demak, xususan, ixtiyoriy bazis uchun va har qanday vektor juftligi uchun , , ya'niqayerda. Tenglikning o'ng tomonidagi ifoda (1) va ichida ko'phad bo'lib va ​​deyiladi ikki chiziqli shakl dan va (uning har bir a'zosi chiziqli, ya'ni birinchi darajali, nisbatan va nisbatan). Ikki chiziqli shakl deyiladi simmetrik, agar uning har bir koeffitsienti uchun simmetriya sharti bajarilsa. Shunday qilib, skalyar mahsulot ixtiyoriy asosda vektorlar koordinatalarida ikki chiziqli simmetrik shakl sifatida ifodalanadi , real koeffitsientlar bilan. Lekin bu hali ham yetarli emas. Ya'ni, deb faraz qilsak, biz (1) tenglikdan olamiz
Chiziqli fazoni ko'rib chiqaylik L. Vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish amallari bilan bir qatorda, biz bu fazoda yana bitta operatsiyani, skalyar ko'paytirish amalini kiritamiz.