Haqiqiy yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

a= a 1 a 1 + a2 a 2 + …+ a Pa P va b = b1 a 1 + b2 a 2 + …+ b Pa P.
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P b P. (*)
Skalar mahsulotning xossalarini amalga oshirishni tekshiramiz:
1) (a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P b P= b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b P a P= (b , a ),
2) Agar , keyin
Keyin
(a+ bilan , b ) =
= (a , b ) + (bilan , b ).
3. (l a , b ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la P)b P= la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la P b P =
L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a) P b P) = l ( a , b ).
4. " a ¹ 0 va agar hamma narsa a i= 0, ya'ni. a = 0 .
Shuning uchun tenglik ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P b P L da belgilaydi n skalyar mahsulot.
E'tibor bering, ko'rib chiqilgan tenglik ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a P b P turli fazoviy bazalar uchun bir xil vektorlarning skalyar mahsulotining turli qiymatlarini beradi a va b . Bundan tashqari, skalyar mahsulot tubdan boshqacha tarzda aniqlanishi mumkin. Shuning uchun biz (*) tenglikdan foydalanib, skalyar mahsulotning vazifasini chaqiramiz. an'anaviy.
Ta'rif 3
Norma vektor a bu vektorning skalyar kvadratining kvadrat ildizining arifmetik qiymati.
Vektor normasi || bilan belgilanadi a ||, yoki [ a ], yoki | a | . Shunday qilib, keyin ta'rif
||a || .
Normning quyidagi xususiyatlari mavjud:
1. ||a || = 0 Û a =0 .
2. ||a a ||= |a|.|| a || "OR.
3. |(a , b )| £ || a ||.||b || (Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi).
4. ||a +b || £ || a || + ||b || (uchburchak tengsizligi).
An'anaviy tarzda belgilangan skalyar ko'paytirish bilan V 2 va V 3 Evklid bo'shliqlarida ` vektor normasi. a uning uzunligi
||`a|| = |`a|.
Evklid fazosida R n skalyar ko'paytirish vektor normasi bilan  ga teng
||a || =  .