Harakat t еnglamalari. Lagranj va Eylеr o‘zgaruvchilari. Skalyar va vеktоr maydоnlar. Qisqacha nazariy ma’lumotlar
Download 71.11 Kb. Pdf ko'rish
|
6-amaliy mash
- Bu sahifa navigatsiya:
- vektorga ko’chishi quyidagiga teng
- Skalyar maydonning ekstremal nuqtasi
- Potensial kuchlar maydoni
- 2-Misol.
|
Harakat t еnglamalari. Lagranj va Eylеr o‘zgaruvchilari. Skalyar va vеktоr maydоnlar. Qisqacha nazariy ma’lumotlar.
1. Nabla vector k z j y i x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ;
2. Laplas operatori 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ ∇ = ∆ ;
3. Skalyar funksiyaning gradienti k x j y i x grad ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕ ϕ ; 4. Vektor maydonning divergensiyasi z v y v x v v div z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ; 5. Vektor maydonining rotori z y x a a a z y x k j i a rot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = . 1-misol. Quyidagi munosabatlarning to’g’riligini ko’rsating (a)
( ) ψ ϕ ψ ϕ grad grad grad + = + ,
(b) ( ) b div a div b a div + = + , (c) ( )
rot a rot b a rot + = + .
Yechish: (a)
( ) (
) ( ) ( ) ( ) (**)
, , (*) , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1
z e y e x e z e y e x e e grad grad e z z e y y e x e x e z e y e x e grad i i i i i i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ = + = + ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ
Bu lardan kelib chiqadiki (*) va (**) munosabatlar ekvivalent, ya’ni ( ) ψ ϕ ψ ϕ grad grad grad + = + munosabat o’rinli. (b) Faraz qilaylik ) , , ( 3 2 1 a a a a va
) , , ( 3 2 1 b b b b vektorlar berilgan bo’lsin . )
) ( ) ( ) ( ; ; 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1
db dz da dy db dy da dx db dx da dz b a d dy b a d dx b a d b a div dz db dy db dx db b div dz da dy da dx da a div + + + + + = + + + + + = + + + = + + =
Demak, ( ) b div a div b a div + = + munosabat o’rinli. (c) (
b rot a rot k y b x b k y a x a j x b z b j x a z a i z b y b i z a y a k y b a x b a j x b a z b a i z b a y b a b a b a b a z y x k j i b a rot + = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ + ∂ − ∂ + ∂ + + ∂ + ∂ − ∂ + ∂ + ∂ + ∂ − ∂ + ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + 1 2 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Agar fazoning har bir r nuqtasida ) (r ϕ
maydon. Agar fazoning har bir r nuqtasida ) (r a vektor berilgan bo’lsa-bu vektor maydon. Skalyar maydon d ϕ
1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) grad
d r dr r dx dx dx dr x x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ = + − = + + = ⋅ ∂ ∂ ∂
Gradient – bu vektor r ∂ ϕ ∂ ≡ ϕ ∇ ≡ ϕ grad
komponentalari 3 2 1 , , x x x ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ ∂ . Kattalik grad
grad cos
d dr dr ϕ ϕ ϕ θ = ⋅ = ⋅ ⋅ , bu erda θ - gradient va dr vektor orasidagi burchak. ϕ grad vektorning yo’nalishi - bu berlgan nuqtada skalyar maydonning eng tez o’sish yo’nalishidir, gradientning moduli esa, maydonning shu yonalishdagi o’sish tezligidir. Skalyar maydonning ekstremal nuqtasi – Bu nuqtada 0 grad = ϕ . Kuchlar maydoni ) (r F - bu vektor maydon, uning qiymati fazoning har bir nuqtasidagi ta’sir qiluvchi kuchlar qismiga teng. Potensial kuchlar maydoni – bu kuchlar maydonining ixtiyoriy yopiq konturdagi bajargan ish nolga teng bo’ladi. Bu holda skalyar potensial energiya maydoni ) (r U , va kuchlar maydoni bilan bog’lanishni quyidagicha yozish mumkin: ) ( grad ) (
U r F − = . Skalyar funksiyaning gradienti k x j y i x grad ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ϕ ϕ ϕ ϕ ; 2-Misol. Quyidagi munosabatning to’g’riligini ko’rsating
( ) ψ ϕ ψ ϕ
grad grad + = + ,
Yechish: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (**)
, , (*) , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1
z e y e x e z e y e x e e grad grad e z z e y y e x e x e z e y e x e grad i i i i i i ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = + = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ + ∂ = + = + ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ
Bu lardan kelib chiqadiki (*) va (**) munosabatlar ekvivalent, ya’ni ( ) ψ ϕ ψ ϕ grad grad grad + = + munosabat o’rinli. Topshiriq Ayniyatlarni isbotlang 1. ( )
ϕ ψ ψ ϕ ϕψ
grad grad + = ; 2.
( ) ϕ ϕ ϕ grad a a div a div + = ; 3.
( ) a grad a rot a rot × + = ϕ ϕ ϕ ; 4. 0 =
divrot ; 5. 0 rotgrad = ϕ ; 6.
a a graddiv a rotrot ∆ − = . 1. Quyida berilgan funksiyalarning gradientini toping: 1.1 (x 2
2
1.2 (x 3
2
2
2 ); 1.3 (x 2 -5x+7y 2 -y+6z 2 +3);
1.4 (5x 3 -8y 2 z+4y 2 +4z 2 +6);
1.5 (6x 4 +8xyz 2 +7x 2
2. Gradient vektori komponentlarini toping: 2.1grad(r), bu erda ( ) 2 / 1 2 2 2 z y x r r + + = = ; 2.2 grad( ρ ),bu erda ( ) 2 / 1 2 2 y x + = ρ = ρ ; 2.3 grad ( r 1 ); 2.4 grad (ln( ρ )); 2.5 grad ( R r − 1 ), bu erda R - o’zgarmas vektor, ) , , ( z y x r = ; 2.6 grad (ln 0 ρ
ρ ), bu erda 0 ρ - o’zgarmas vektor, ) 0
, (
x = ρ ; 2.7 grad (f(r)); 2.8 grad(f( ρ));
2.9 grad (f( r k )),bu erda k - o’zgarmas vektor; 2.10 grad(f( ρ , z)); 2.11 grad (f( r )g( r )); 2.12 grad ( r α ), bu erda α - o’zgarmas vektor; 2.13 grad ]) ,
, (
a ω , bu erda a va ω - o’zgarmas vektorlar; 2.14 grad (exp(- αr)); 2.15 grad (exp(- 2
α ));
2.16 grad (exp(- αρ )); 2.17 grad (exp(- 2 αρ )); 2.18 grad (sin( r k )); 2.19 grad (sin( ρ
k )). 2.20
r e cr − grad , ) gradsin( r k 2.21
]) [ ], ([ grad
r b r a
2.22 const d r r d = , grad 3
2.23 (
) )( ( grad r b r a
Document Outline
Download 71.11 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|