H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov
Download 6.8 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Misal 5.3.
- -beta (x,y) -betaln(x,y).
- 5.5. Üstlü inteqral funksiyası
- 5.7. Bessel funksiyaları
- Birinci cins n - tərtibli Bessel fuksiyası
- 2.İkinci cins n -tərtibli Bessel funksiyası
- 1. Тясадцфи кямиййятин интеграл пайланма гануну.
- Шякил 5.6. 2. Диференсиал пайланма гануну (Ещтималларын пайланма сыхлыьы).
|
Həqiqətən, nəzəriyyəyə əsasən ). ( / ) ( 1 t dt t d 5.2. Inteqral sinusu və cosinusu Bu inteqrallar yuxarı sərhəddən (burada z) asılı olan acilmayan inteqrallar sinfinə aiddir.
İnteqral sinusu dx x x z Si z 0 ) sin( ) (
hesablamaq üçün sinint(z) funksiyasından istifadə olunur.
Misal 5a. z=1, z=3+3i hallarına baxaq.
İnteqral cosinusun aşağıdakı ifadə ilə təyin olunur: . | ) arg( | , 1 ) cos( ) ln(
) ( 0
dx x x z z Ci z
...
5772 . 0 Eyler sabiti.
Misal 5.3. z=1, z=pi /4, z=2+3i. 106
5.3. Qamma-funksiya Qamma-funksiyanın əsas yazılış formalarından biri: . )
1 0
t e n Г n t Bu inteqral parametrdən asılı olan inteqraldır. Tam n parametri üçün aşağıdakı münasibətlər doğrudur:
) ( ) 1 ( )! 1 ( ) ( ; 1 ) 2 ( ) 1 (
nГ n Г n n Г Г Г Ümimi halda: ! 2
) 1 2 1 ( ; 2 2 1 ; 2 1
n Г Г Г
Ümimi halda n mənfi, müsbət, tam, kəsir və kompleks ədəd şəklində ola bilər. Lakin Matlabda n yalnız həqiqi müsbət ədəd ola bilər. Sintaksis: gamma (n), n-həqiqi müsbət ədəddir.
hesablayaq.
107
Göründüyü kimi, n=0 və n=-3 qiymətlərində proqram qamma-funksiyanı hesablaya bilməyir- qiyməti inf-sonsuzluq alınır. Qamma-funksiyanın )! 1 ( ) (
n Г xassəsəndən istifadə edərək faktorialı hesablamaq olar.Məsələn, 5! tapmaq tələb olunarsa n=6 götürmək lazımdır.
Natamam qamma-funksiya: . )
1 ) , ( 1 0 dt t e n Г n x P n x t
Matlab funksiyası: gammainc(x,n). Misal 5.5. Burada NaN qeyri-müəyyənlik deməkdir. Mühəndis praktikasında ) , ( / ) , ( ) , (
х P dx n х dP n x Psi funksiyasından da istifadə olunur: psi(x,n).
108
5.4. Betta-funksiya Betta-funksiya birinci cins Eyler inteqralı da adlanır.Bu funksiya çoxlu sayda inteqral təqdimatlarına malikdir. Bunlardan əsası aşağıdakı ikiparametrik inteqral təşkil edir: . )
( ) , ( 1 1 0 1
t t y x B y x Burada x, y- sabit parametrlər, t isə [0;1] intervalında dəyişən inteqrallama dəyişənidir. Praktiki hesablamalarda adətən betta-funksiyanı qamma-funksiyanın vasitəsi ilə hesablayırlar: . ) ( ) ( ) ( ) , (
x Г y Г x Г y x B Matlab sistemində bu funksiyanın hesablanmasinın bir-neşə variantı mövcuddur. O cümlədən:
hesablanır.
Parametrlərin x=2, y=4 qiymətlərində betta-funksiyanın qiymətini hesablayaq.
Çoxlu sayda üstlü inteqral funksiyaları mövcuddur. Matlada bunlardan biri reallaşdırılmışdır: . ) ( dt t e x E x t
Burada inteqralın aşağı sərhəddi x ədəd, vektor, matris, həqiqi və ya xəyali 109
ədədlər ola bilər. Matlabda bu funksiya
ədəd,vektor, matris, mənfi, müsbət və ya kompleks kəmiyyət ola bilər . Misal 5.7.
5.6. Lejandr funksiyası Lejandr funksiyası aşağıdakı şəkildədir: . )
) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 m n m m m m n dx x P d x x P
Burada .
1 ( ! 2 1 ) ( 2
n n n dx x d n x P legendre(n,x) əmrinin köməyi ilə hesablanır. Burada n-256 ədədini aşmayan tam ədəd, n<=256; x-arqumenti -1<x<1 intervalında dəyişən həqiqi ədəddir. x ədəd və ya vektor ola bilər.
legendre(n,x) əmri x-in hər bir qiyməti üçün n+1 ölşülü massiv formalaşdırır.
110
5.7. Bessel funksiyaları Bessel funksiyaları (silindrik funksiyalar) Bessel tənliyi adlanan aşağıdakı dəyişən əmsallı iki tərtibli xətti bircins diferensial tənliyin həllidir: . 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2
y n x dx x dy x dx x y d x Burada n-mənfi olmayan sabitdir, 0
. Aydındır ki, həll y(x,n) y-in əmsalına təsir edən n-dən asılıdır. Bu tip tənliyin həlli n-in tam qiymətində elementar funksiyalar ilə ifadə oluna bilmədiyindən bu hal üçün Bessel tərəfindən bir-neçə həll düsturu təklif edilmişdir: 1. Birinci cins n- tərtibli Bessel fuksiyası. Bu halda həll sonsuz sıra şəklində axtarılır.Nəticədə həllin aşağıdakı ifadəsi alinır: . 1 , ) ( ! 4 2 ) , ( 0 2 k n a a Г k x x n x J k k n n
Burada ) (a Г qamma funksiya, n-tam ədəddir. . )
1 0
t e a Г a x t
n=0 qiymətində Bessel tənliyi . 0 1 y y x y x=0 qiymətində y in
əmsalı kısilənliyə məruz qalır:1/0=∞.Bu səbəbdən x=0 nöqtösi xüsusi nöqtədir. Belə tənliyi adi üsullarla həll etmək mümkün olmadığından həll üstlü sıra şəklində axtarılır: ...
... 2 2 1 0
k x c x c x c c y . Əmsalları y(0)=1, y'(0)=0 111
başlanğıc şərtlərində tapdıqdan sonra həll: . )
( 2 ) 1 ( ) 0 , ( 2 2 2 0 0
x x J n k k k 2.İkinci cins n-tərtibli Bessel funksiyası (triqonometrik forma):
. ) sin(
) , ( ) cos(
) , ( ) , (
n x J n n x J n x Y n n n
olan üçüncü cins Bessel funksiyası
da mövcuddur. Matlabda Bessel funksiyaları aşağıdakı əmirlərin köməyi ilə hesablanır: -besselj(n,x); -bessely(n,x). Misal 5.9. n=0,1,2,3 qiymətləri üçün birinci cins Bessel J 0 , J 1 , J 2 , J 3 funksiyalarının qrafikinı quraq.Bu məqsədlə for...end dövr operatorundan istifadə edəcəyik.
Şəkil 5.4-də müvafiq qrafiklər göstərilmişdir.
İkinci cins Bessel Y 0 , Y 1 , Y 2 , Y 3 funksiyasının hesablayaq.
112
Şəkil 5.5-də ikinci cins Bessel funksiyalarının qrafikləri göstərilmişdir.
Arqunentin x=0 qiymətində Y(n,x)=-inf. Bu səbəbdən qrafikləri bir pəncərədə göstərə bilmək üçüçn amplitudlar Ylim([-2 2]) əmrinin köməyi ilə məhdudladırılmışdır. Bessel tənliyi Laplas və Helmqols tənliklərini silindrik koordinatlarda tapdıqda meydana çıxır. Bessel funksiyalarından dalğaların yayılması, statik potensiallar, nazik dairəvi membranın rəqslərinin forması və digər məsələlərin həlli zamanı istifadı olunur.
113
5.8. Təsadüfi proseslər 5.8.1. Fasiləsz təsadüfi kəmiyyətin ehtimal və ədədi xarakteristikaları Мцяййян сонлу b X
вя йа сонсуз X интервалында мцмкцн олан бцтцн гиймятляри ала билян тясадцфи х кямиййяти фасилясиз тясадцфи кямиййят адланыр. Демяли, фасилясиз тясадцфи кямиййятин ещтимал характеристикалары да фасилясиз функсийалар олмалыдыр. 1. Тясадцфи кямиййятин интеграл пайланма гануну. Фасилясиз тясадцфи кямиййят юзцнцн интеграл пайланма гануну иля там тяйин олунур:
) x X ( P ) x ( f . (5.1) Бурада х тясадцфи Х кямиййятинин истянилян конкрет гийıмяти; П – ещтималын ишарясидир. Демяли, тясадцфи кямиййятин пайланма функсийасы онун бцтцн гиймятляринин щяр щансы бир х гиймятиндян кичик олмасы ещтималыны эюстярир. Шякил 5.6 а-да пайланма функсийасынын графики эюстярилмишдир. Бу функсийанын истянилян пайланма гануну цчцн доьру олан ясас хассяляри ашаьыдакылардыр: 1.
) x ( f азалмайан функсийадыр; бярабяр пайланма гануну цчцн const f ; 2. х-ин щядд гиймятляриндя 0 )
f , 1 ) ( f ; 3. Х тясадцфи кямиййятинин ] , [ интервалына дцшмя ещтималы ) ( f ) ( f ] X [ P . Бязи пайланма ганунларында яйилмя нюгтяси А олмайа да биляр. Хассялярин яксяриййятини графикдя мцшащидя едя билмяк цчцн о нормал пайланма гануну цчцн чякилмишдир. x артдыгъа сол тяряфдя галан интервал эенишлянир вя Х тясадцфи кямиййятин бу интервала дцшмя ещтималы артмаьа башлайыр. Интеграл пайланма ганунунун чатышмамазлыьы ондан ибарятдир ки, о Х тясадцфи кямиййятинин щяр щансы бир i x конкрет гиймятинин кичик ятрафында пайланма характери щаггында мцщакимя йцрцтмяйя имкан вермир. Бу чатышмамазлыьы арадан галдырмаг мягсяди иля диференсиал пайланма ганунундан истифадя едирляр.
114
2. Диференсиал пайланма гануну (Ещтималларын пайланма сыхлыьы). Х кямиййятинин верилмиш ) x
, x ( интервалына дцшмя ещтималы 3-ъц хассяйя ясасян:
) x ( f ) x x ( f ) x x X x ( P .
Бу ещтималын парчанын узунлуьуна нисбятини тяртиб едяк:
x ) x ( f ) x x ( f . (5.2)
Бу нисбят ващид узунлуьа дцшян орта ещтималы, йяни онун орта сыхлыьыны характеризя едир.
) x ( f функсийасынын диференсиалланан олдуьуну фярз едиб (5.2) ifadəsində 0 x
щяддиня кечяк:
) x ( p ) x ( f x ) x ( f ) x x ( f lim 0 x . (5.3)
) x ( p функсийасы ещтималларын пайланма сыхлыьы функсийасы адланыр. Шякил 5.6, б-дя бу функсийанын графики эюстярилмишдир. Диференсиал пайланма гануну ашаьыдакы хассяляря маликдир. 1. dx
x ( df ) x ( p . 2. dx ) x ( p ) x ( f . 3.
dx ) x ( p ] X [ P . (5.4) б) а)
115
Яэяр оларса, 0 p , йяни (5.4) фасилясиз тясадцфи кямиййятин дискрет тясадцфи кямиййятдян фяргли олараг конкрет бир гиймят алмасы ещтималы сыфыра бярабярдир. 4. 1
( f ) ( f | ) x ( f dx ) x ( p . Йяни ещтималларын пайланма сыхлыьы яйрисинин ящатя етдийи сащя С ващидя бярабярдир. Доьрудан да бу сащя Х-ин мцмкцн ) ,
интервалына дцшмя ещтималыны характеризя етдийиндян ващидя бярабяр олмалыдыр. Пайланма ) x
f вя
) x ( p функсийалары тясадцфи кямиййятин ещтимал характеристикалары адланыр вя ону там характеризя едир. Буна бахмайараг, бязи щалларда пайланма ганунларыны билмяйя ещтийаъ олмайыб, йалныз бу ганунлара дахил олан параметрляри билмякля кийайятлянмяк олар. Бунлардан рийази эюзлямя вя дисперсийа иля таныш олаг. Рийази эюзлямя вя дисперсийа тясадцфи кямиййятин ещтимал дейил, ядяди характеристикалары адланыр.
Download 6.8 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|