H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Шякил 5.20 

 

Мисал  5.13.  Фярз  едяк  ки,  отагда  температурун  эцн  ярзиндя  дяйишмясини 

тядгиг  етмяк  лазымдыр.  Статистик  верилянляри  ялдя  етмяк  цчцн  отагда  олан 

термометрдян  истифадя  олунмушдур.  Илкин  верилянляр 

)

x

(

f

*

  вя 

)

x

(

p

*

  емпирик 

пайланма  функсийаларыны  гурмаг  цчцн 

C

2

x

o





  щалында  апарылмыш 

щесабламаларын нятиъяляри ъядвял 5.1-дя верилмишдир. Температурун гиймятляри 

артма истигамятиндя низамланмышдыр.  

                                                                      Ъядвял 5.1 

Щесабламаларын нятиъяляри, 

23

n



, 

C

2

x

o





 

              

j  

C

x

o

j

 

j

x

 

j

m

 

*

j

p  

j

x



 

j

h

 

 

1 

16.8 

17.2 

18.9 

 

17.6 

 

3 

 

0.13 

 

2.1 

 

0.062 

 

 

 

2 

18.9 

19.1 

19.2 

19.5 

20.0 

20.3 

20.4 

20.7 

21.1 

 

 

 

19.6 

 

 

 

9 

 

 

 

0.39 

 

 

 

2.2 

 

 

 

0.177 

 

 

3 

21.1 

21.2 

21.3 

22.1 

22.3 

23.5 

 

 

21.8 

 

 

6 

 

 

0.26 

 

 

2.4 

 

 

0.108 

 

 

23.5 

23.6 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

131 

 

4 

23.8 

24.0 

25.7 

24.0 

5 

0.22 

2.2 

0.100 

 

 

Шякил  5.21, а  вя  б-дя  ъядвял  5.1-я  ясасян  гурулмуш 

)

x

(

f

*

  вя 

)

x

(

p

*

 

яйриляри эюстярилмишдир. 

 

   

Шякил 5.21 

     5.8.5. Matlabda realizasiya 

 

     Matlabda  təsadüfi  proseslər

  Statistics  Toolbox 

bölməsində  öyrənilir 

(Əlavə 4). 

     1.Təsadüfi kəmiyyətin ehtimalların paylanma sıxlığı funksiyaları aşağıda 

verilmişdir: 



 

betapdf

 – Beta paylanma  



 

binopdf

 – Binomial paylanma  



 

chi2pdf

 – xi-kvadrat paylanması  

 



 

exppdf

  – Eksponensial paylanma  



 

fpdf

       – Fişer paylanması 



 

gampdf

 – Qamma paylanması  



 

geopdf

   – Həndəsi paylanma  



 

hygepdf

 – Hiperhəndəsi paylanma  



 

lognpdf  

– Loqnormal paylanma   



 

nbinpdf

 – Mənfi binomial paylanma  



 

ncfpdf

    – Fişerin qarışıq paylanması  



 

nctpdf    

– Styüdentin qarışıq paylanması  



 

ncx2pdf

 – Qarışıq xi-kvadrat paylanma  



 

normpdf

 –Normal paylanma  



 

poisspdf

 – Puasson paylanması  



 

mvnpdf

  – Çoxölçülü normal paylanma  



 

raylpdf 

  – Reley paylanması  



 

pdf 

         – Parametrləşdirilmiş paylanma  

а) 

б) 

 

132 

 



 

tpdf

        – Styüdent paylanması  



 

unidpdf 

 – Diskret bərabər paylanma   



 

unifpdf

   – Fasiləsiz bərabər paylanma  



 

weibpdf

  – Veybul paylanması  

     

Lazımı paylanmanı əldə etmək üçün Matlabın Helpinə daxil olub Statistics 

Toolbox bölməsində bu funksiyanı Search for: pıncərəsinə yazıb «Enter»-i clik 

etmək lazımdır: Help/F1 /Statistics Toolbox/... 

     2. Təsadüfi prosesin ehtimalların paylanma sixlığı funksiyasının 

qurulması. 

     Misal 5.14.

 Helpdən tapılmış eksponensial paylanma . Sintaksis 

Y = exppdf(X,mu). İfadəsi







x

e

x

f

y







1

)

,

(

. Burada paylanma yeganə bir µ 

(mu) parametrinə malikdir.Ümumi halda bir-neçə parametr ola bilər. Məsələn, 

normal 

Y  =  normpdf(X,mu,sigma)  paylanması  iki  µ-orta  və  σ-orta  kvadratik 

meyiletmə parametrə malikdir. İfadə 

.

2

1

)

,

,

(

2

2

2

)

(





















x

e

x

f

y

 

     Aşağıda eksponensial paylanma üçün ralizasiya göstərilmişdir. 

 

   

 

 

 

 

Şəkil 5.22. Eksponensial prosesin ehtimalların paylanma  

 

133 

 

sıxlığı funksiyasınin qrafiki 

 

      

 

 

Şəkil 5.23. Eksponensial təsadüfi prosesin histeqrammı 

 

    

Mühəndis  praktikasında  ən  çox  rast  gəlinən  paylanma  qanunları 

aşağıdakılardir: 

     1. Bərabər paylanma  qanunu: 

rand(n,m) – (0-1) interervalında  orta qiyməti 

m

0

= 0, dispersiyası D=1 olan  təsadüi ədədlər generasiya edir; 

     2. Normal (Qaus paylanması) paylanma: 

randn(n,m). 

     Ümumi halda 

).

,

(

*

0

m

n

rand

D

m

x





 

 

     

Burada n,m-generasiya olunan  təsadüfi ədədlər matrisinin ölçüsüdür. 







D

orta kvadratik meyiletmə. 

     

Histeqrammların  qurulması.          Praktiki  məsələlərdə  təsadüfi 

kəmiyyətlərin  sayı  məhdud  olduğundan  onlar  üçün  ehtimalların  paylanma 

sıxlığı  funksiyasını  nəzəri  üsullarla  qurmaq  mümkün  olmadığindan  təqribi 

aproksimasiya olan histoqram qurulur. 

     Bu  məqsədlə 

hist(x,N)  funksiyasından  istifadə  olunur.Burada  N-

intervalların sayıdır. 

    

 Misal 5.15. 

Bərabər paylanma qanunu, m

0

=5, σ=3. 

 

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0

50

100

150

200

250

300

350

 

134 

 

     

 

 

Şəkil 5.24. Bərabər paylanma qanunun histeqramı 

 

    3. (x,y) müstəvisində  təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin qurulması. 

 

 

 

Şəkil 5.25. Bərabər paylanmaya malik olan təsadüfi 

 kəmiyyətin paylanma sxemi 

 

     Görundüyü kimi,  nöqtələr müstəvidə  kifayyət qədər bərabər paylanmışdir

 

     Misal 5.16. 

Normal paylanma qanunu

,

 m

0

=5, σ=3.

 

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

0

5

10

15

20

25

30

35

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

 

135 

 

 

     

 

 

Şəkil 5.26. Normal paylanma qanunun histeqramı 

 

      4.Hamar histoqramın  qurulması. 

 

     

 

 

Şəkil 5.27. Hamar histoqram 

 

       (x,y) müstəvisində  təsadüfi nöqtələrin paylanma sxeminin quraq. 

 

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

10

15

20

25

30

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

 

136 

 

      

 

 

Şəkil 5.28. Normal paylanmış nəqtələrin paylanma sxemi 

     

Göründüyü  kimi,  normal  paylanmada  nöqtələrin  əksəriyyəti  orta  m

0

=5 

nöqtəsinin ətrafında cəmlənmişdir. 

     

5. Təcrübi təsadüfi ədədlər əsasında histoqramın qurulması.   Bu 

məqsədlə cədvəl 5.1-də olan verilənlərdən istifadə edək. 

      Misal 5.17. 

 

 

 

-5

0

5

10

15

-10

-5

0

5

10

15

20

 

137 

 

 

Şəkil 5.29. Təcrübi verilənlər əsasənda qurulmuş 

 histoqram 

 

      

5.8.6. Təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarının

 

                hesabla

nması

 

 

      Vektor-sətirÇ vektorr-sütun və ya matris şəklində verilmiş ardıcıllıq üçün 

aşağıdakı ədədi statistik xarakteristikalar hesablanır: 



 

minimum-

min(x); 



 

mmmaksimum- 

max(x); 



 

orta qiymət- mean(x); 



 

median- 

median(x); 



 

elementlərin hasili- prod(x); 



 

elementlərin cəmi- 

prod(x); 



 

komulyativ cəm- cumsum(x); 



 

standart meyiletmə (ortakvadratik meyiletmə 

D





)- 

std(x); 



 

artma istiqamətində nizamlama- sort(x); 



 

azalma istiqamətində nizamlama- -sort(x); 

Dispersiya (orta qiymətdən meyiletmə) 

.

)

(

1

1

2

1











n

i

i

x

x

n

D

 

      Misal 5.18. 

 

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

0

1

2

3

4

5

6

7

 

138 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

139 

 

FƏSİL 6

 

 

VEKTOR VƏ MATRİS CƏBRİ

 

_________________________________________________________ 

 

     

İqtisadiyatda,mexanikada,elektrotexnikada, idarəetmədə, optimallaşdırmada 

və  digər  sahələrdə  coxölçülü  sistemlərin  tənliklərini  lokonik  (yığcam)  ifadə 

etmək  ücün  matris  yazılış  formasından  geniş  istifadə  olunur.  Belə  yanaşma 

metodik və alınmış nəticənin (məsələn, həllin) ümumiliyi baxımından olduqca 

səmərəlidir.   

 Məsələn, koordinatlar üzrə yazılmış  



























15

x

4

x

x

2

0

x

x

x

2

5

x

x

3

3

2

1

3

2

1

2

1

 

xətti cəbri tənliklər sistemin matris yazılış  aşağıdakı şəkildədir: 

,

b

Ax



 

burada  





T

x

x

x

x

)

,

,

(

3

2

1

axtarılan dəyişənlər vektoru; 

 





























4

1

2

1

1

2

0

1

3

A

 -əmsallardan təşkil olnmuş matrs; b=(5 0 15)

T

-sağ tərəfi ifadə 

edən vektordur. 

     Tənliyin matris formasında həlli olduqca cadə şəkildədir: 

.

1

b

A

x





 

     

Həlli tapmaq üçün A matrisinin tərsinin tapıb b vektoruna vurmaq lfzımdır. 

     

Başqa misal. Xətti diferensial tənliklər  

 

Ax

dt

dx



/

 

sisteminin Koşi  

0

)

(

0

)

(

x

e

t

x

t

t

A





 

düsturuna əsasən  analitik həllini almaq üçün 

)

(

0

t

t

A

e



matris eksponentasını və 

ya keçid matrisini hesablamaq kifayyətdir. 

 

     

6.1. Bektor və matris anlayışı

 

 

     Biz  elementləri  həqiqi  ədədlər  olan  ədədi  ədədi  vektor  və  matrisləri 

öyrənəcəyik. 

 

140 

 

     Vektor ədədlərdən ibarət olan sütun (vektor-sütun) və ya sətir (vektor-sətir) 

şəklində verilə bilər. Biz vektoru vektor-sütun şəklində qəbul edəcəyik: 

,

2

1



























n

a

a

a

a



   

).

...

(

,

)

...

(

2

1

2

1

n

T

T

n

a

a

a

a

a

a

a

a





 

T-  transponə  əməliyyatı  (sütunlarla  sətirlərin  yerinin  dəyişdirilməsi),  n- 

vektorun ölçüsüdür (elementlərinin sayı). 

     Məsələn,  

.

)

1

3

2

(

,

1

3

2

T

a

a





























 

      

b

a

x

T



 

yazılışı  vektor-sətrin  vektor-sütuna  vurulması  deməkdir.  Vektor 

sütuna n sətir və 1 sütuna malik olan n×1ölçülü matris kimi baxmaq olar. 

Matris. Həqiqi a

ij

 ədədlərindən ibarət olan düzbucaqlı cədvəl 

ədədi matris 

adlanır: 

 

.

4

5

3

1

0

2

;

,

1

;

,

1

],

[

2

1

2

22

21

1

12

11



















































A

m

j

n

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

ij

nm

n

n

m

m

















 

     Məsələn, 

.

3

,

1

;

2

,

1

,

4

5

3

1

0

2



















j

i

A

 

 

a

ij

 ədədləri 

matrisin elementləri adlanır. i və j indeksləri a

ij

 elementinin i-

ci  sətrin  və  j-cu  sütunun  kəsişməsində  yerləşməsini  göstərir.  Başqa  sözlə,  i 

sətrin  ,  j  isə  sütunun  nömrəsidir.  Məsələn,  a

23

  elementi  2-ci  sətir  ilə  3-cü 

sütunun kəsişməsində yerləşir. Matrisin ölçüsü n × m kimi göstərilir. 

 

6.2. Vektor və matrisin daxil edilməsi

 

 

Vektor  və  matrislər  Matlabın  əmirlər  pəncərəsindən  daxil  edilir.Vektor-

sütun aşağıdakı rimi daxil edilir. Sütunun elementləri ; ilə ayrılırlar. 

 

141 

 

 

 

 

Birölçülü massivlərin generasiyası: 

 

a)

 

sabit addım dx=const, interval

max

min

x

x

x





. 

  

 

      b) müxtəlif intervallarda müxtəlif addimlar. 

 

     

 

 

Bütün intervallarda elementlərin sayı eyni olmalıdır! 

Matris sətir-sətir ardıcıl olaraq daxil edilir. Şətirlər ; ilə ayrılır. 

 

142 

 

 

     

     6.3. Matr

islərin əsas növləri

 

 

     Mühəndis  hesablamalarında  daha  tez-tez  istifadə  olunan  matrislər 

aşağıdakılardır. 

1.

 

Düzbucaqlı matris, n≠m. 

.

6

.

4

5

3

8

.

1

0

2















A

 

Burada A matrisi 2×3 ölçülü matrisdir. 

2.

 

Kvadratik matris ,   n=m. 

.

0

.

5

6

.

3

4

.

0

0

.

2















A