H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

21

m1

21

11

2m

22

21

c

b

b

b

...a

a

a

 

     Hesablama düsturu: 

.

,...,

2

,

1

;

,...,

2

,

1

,

1













j

n

i

b

a

c

kj

m

k

ik

ij

 

6) matrisi vektora vurduqda vektor alınır:

c

b

A



*

. 

 

 

 

167 

 

 

7)  vektor- sətri matrisə vurduqda vektor-sətir alınır: 

.

*

T

T

c

A

b



 

               

 

 8) vektor- sütunu matrisə vurulma əməliyyatı təyin olumayıb !

 

 9)  kvadratik matrisin özünün tərsi ilə hasili vahid matris verir. 

 

     

 

    

     10) matrisin sütünlar üzrə cəmlənməsi-s1=sum(A,1) . 

 

168 

 

     

 

     11) matrisin sətirlər üzrə cəmlənməsi-s2=sum(A,2). 

     

 

     Vurma funksiyası prod(.) (vurma) da eyni qaydada işləyir. 

 

     

 

     

6.7. Matrisin əsas göstəriciləri

 

 

     

1. Kvadratik matrisin determinantı, |A|- det(A). 

     

 

 

169 

 

     Determinantın  hesablanmasının  sadə  üsllarından  biri    onun  hər-hansı  bir 

sətrin  və  ya  sütunun  (sıfır  elementləri  çox  olan)  elementlərinin  cəbri 

tamamlayıcılarına görə parçalayıb hər iterasiyada tərtibinin azaldılmasidır. 

     Əvvəldə göstərildiyi kimi, a

ik

 elementinin cəbri tamamlayıcısı: 

.

)

1

(

ik

k

i

ik

M

A







 

M

ik

- a

ik

 elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan 

matrisin təyinedicisi). 

     Məsələn,  



























2

1

5

0

7

2

1

3

4

A

 

matrisinin a

21

=2 elementinin minoru  

,

7

2

1

1

3

21







M

 

cəbri tamamlayıcısı isə A

21

=(-1)

2+1

7=-7. 

     Parçalama teoreminə əsasən yazmaq olar: 

n

k

A

a

A

a

A

ki

n

i

ki

n

i

ik

ik

,...,

2

,

1

,

det

1

1















 

      A

ik

  –larin  tərtibı  2-dən  böyük  olarsa  onlara  da  ardıcıl  olaraq  yuxarıdıkı  

parçalanmanı tətbiq edərək hər-dəfə (iterasiyada) tərtibi  1 vahid azaltmaq olar. 

     

Misal 6.1.

 Fərz edək ki, 3×3 (n=3) matris verilmişdir: 

 

.

5

8

7

7

2

4

4

0

1

2

4

4

3

0

3

6



























A

 

 

 Bu  matrisin  determinantını  ikinci  sütunun  elementlərinə  parçalamaqla 

hesablayaq. 

      Bu halda i=1,2,3,4,   k=2.Onda parçalama teoreminı əsasən: 

 

 

 

170 

 

 

Beləliklə 

 

.

7

4

4

3

042

421

603

7

785

421

603

4

785

042

603

4

785

042

421

3

det

42

32

22

12

M

M

M

M

A





















    

 

     Determinantlar (yəni  M

ik

  minorları) 3 ölçülü olduğundan   və hesablanması 

cətinlik törətdiyindın  onların ölçüsünü  1 vahid də azaldaq.Bu məqsədlə onları 

birinci sətirlərin elementlərinə nəzərən parçalayaq: 

 

,

16

28

28

16

78

04

1

)

1

(

75

02

2

)

1

(

85

42

4

)

1

(

3

1

2

1

1

1

12



























M

 

 

,

60

84

24

78

04

3

)

1

(

75

02

0

)

1

(

85

42

6

)

1

(

3

1

2

1

1

1

22



























M

 

 

M

32

=66,      M

42

=48. 

    Alınmış nəticələri det(A) ifadəsində yerinə yazsaq alarıq:det(A)=-216. 

     Determinantın  hesablanmasının  ümumi  və  konstruktiv  üsulu  inversiya 

üsuludur. Bu üsula ısasən  































nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

















2

1

2

22

21

1

12

11

 

matrisinin determinantı aşağıdakı ifadənin köməyi ilə hesablanır: 

 

.

,...,

2

,

1

,

...

)

1

(

det

|

|

2

1

2

1

2

1

2

22

21

1

12

11

n

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

i

a

a

A

n

ni

j

n

i

i

nn

n

n

n

n

























































 

 

171 

 

     Burada 





1-dən n-ə qədər olan 

n

i

i

i

...

2

1

  ardıcıllığın   inversiya ədədidir.  n 

sayda  ədədlərin  yerdəyişmələrinin  sayı  n!  bərabərdir.Məsələn,  n=3  olarsa 

.

6

3

2

1

!









n

İnversiya  ədədi  əvvəlki  ədədlərin  sonrakı  ədədlərin  neçəsindən 

böyük olmasını göstərir.Məsələn, 123;231;312;321;132;213 yerdıyişmələrinin 

inversiya ədədləri uyğun olaraq 

).

1

;

1

;

3

;

2

;

2

;

0

(





 

      Determinantın  yuxarıdakı  ifadəsinin  sağ    tərəfi  hər-biri  n  sayda 

elementlərin  hasilindən  ibarət  olan  n!  sayda  cəmdən      ibarətdir.  Bütün 

cəmlərdəki elementlərin birinci indeksləri 1,2,...,n ədədlərindən ibarətdir. İkinci 

indeksləri  isə 

n

i

i

i

...

2

1

  (yəni  12...n)  ədədlərinin  yerdəyişmələrindən  

ibarətdir.Cəmdə 



 ardıcıl olmaya da bilər.  

     

Misal 6.2.

 Matris 

.

2

3

1

4

2

0

3

2

1

























A

 

 

.

2

6

0

8

0

12

4

1

2

3

3

0

3

1

4

2

2

0

2

3

4

1

2

)

2

(

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

det(

31

22

13

3

32

21

13

2

31

23

12

2

33

21

12

1

32

23

11

1

33

22

11

0

















































































a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

 

2.  Manrisin  ranqi-  xətti  aslı  olmayan  sətirlərinin  və  ya  sütunlarının 

sayı.Başqa tərif: determinantı sıfra bərabər olmayan ən böyük minorun tərtibi- 

rank(A). 

 

 

Bu halda birinci üç vektor üçün  

 

172 

 

























































































0

0

0

1

8

3

1

3

2

1

2

1

3

2

1

c

c

c

 

münasibətini ödəyən c

i

-lər mövcud olduğundan (vektorların əttilik xassəsi) A 

matrisinin birinci üç sütunu xətti asılıdır. Doğrudan da bu tənliklər sistemini 

vektor şəkildə deyil, koordinat formasında yazsaq alariq: 

.

0

,

0

8

3

2

,

0

3

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1





















c

c

c

c

c

c

c

c

c

 

      Həll: c

1

=c

2

 +c

3

, c

2

=-2c

3

. Bu səbəbdən sistemin sonsuz həlli mövcuddur. 

Onlardan buru:

 

c

1

=1, c

2

=2, c

3

=-1. 

Sonuncu sütun isə bunların istənilən biri ilə xətti asılı olmadığından 

matrisin ranqı 2-yə bərabərdir: 

3.Matrisin xarakteristik çoxhədlisi (polinomu), 







)

det(

A

I

p



, 

poly(A). D=λI-A matrisi xarakteristik matris adlanır. 

 

     

 

 

     Nəticədə  xarakteristik  polinomun  əmsalları  alınır.Polinomun  özü  isə

.

21

4

8

2

3















p

Və ya 

 

 

 

4.Matrisin məxsusi ədədləri (xarakteristik tənliyin kökləri), λ

i

- eig(A). 

egi- alman sözü “ eigen” olub “məxsusi” deməkdir. 

 

173 

 

     

 

      Burada  λ

1

=-21.68,  λ

2

=10.92,  λ

3,4

=-1.62±1.15i.  Re(λ

i

)<0  şərti  ödənilən 

matris  Hurvis  matrisi  adlanır  və  əks  əlaqəli  idarəetmə  sistemlərinin 

dayanıqlığını təyin etmək üçün istifadə olunur. 

     Məxsusi  ədədlərin  məcmusu  matrisin  spektri  adlanır.Adətən  məxsusi 

ədədlər diaqonal matris formasında təqdim edilir: S=diag(λ

1

,..., λ

n

). 

5.Matrisin  məxsusi  vektorlaru  v

i

-    məxsusi  λ

i

  ədədinə  uyğun  gələn  və 

aşağıdakı tənliyi ödəyən məxsusi v

i 

vektorudur: 

                                        Av

i

=λ

i

 v

i

.                     i=1,2,...,n 

     Və ya  

D

i

v

i

=0.                                              (7.1)  

     Burada  

D

i

=λ

i

İ-A,  v

i

= (v

i1

, v

i2

,..., v

in

)

T 

– məxsusi vektor, İ-n×n ölçülü vahid matrisdir. 

     (7.1) tənliklər sisteminin determinantı detD

i

=0 olduğundan tənliklərdən biri 

digərilərinin  xətti  kombinasiyasıdır.  Bu  “artıq”  tənliyi  nəzərdən  atsaq  v

i

 

vektoru sərbəst əmsal dəqiqliyində tapılır.Matlabda bu sabil hər bir v

i

 üçün elə 

seçilir ki, onun uzunluğu vahidə bərabər olsun, yəni 

.

1

)

(

2

/

1

2







j

ij

i

v

v

 

     Fərz edək ki, 

.

2

3

2

1















A

 

 

     Bu matrisin məxsusi əddləri :  λ

1

=-1,  λ

2

=4.    

     Birinci v

1

 məxsi vektoru  təyin etmək üçün (7.1) matris tənliyi: 

 

174 

 

.

0

0

3

3

2

2

12

11







































v

v

 

 

      Buradan 

.

0

3

3

,

0

2

2

12

11

12

11









v

v

v

v

 

 

     Bu  tənliklər  yalnız  sabit  vuruq  ilə  fərqlənirlər.Ekvivalent  tənlik 

.

0

12

11





v

v

v

11

=1 qəbul etsək v

12

=-1 alarıq. Beləliklə v

1

=(1 -1)

T

. 

     Analoji  olaraq  v

2

  =(v

21

,  v

22

)

T

  vektoru  üşün  v

21

=2  qəbul  etsək  v

22

=3 

alarıq.Bu halda v

2

=(2  3)

T

. Və ya normallaşdırma aparsaq v

2

=(1   3/2)

T

. 

      Bu məsələni Matlabda həll edək. 

      Eyni  zamanda  bütün  məxsusi  vektorları  (V  matrisinin  v

i

  sütunları  )və 

məxsusi  ədədləri  (S-diaqonal  matris  şəklində)  hesablamaq  üçün  iki  giriş 

arqumentli 

[V,S]=eig(A)  funksiyasından istifadə olunur. 

 

     

 

 

     Burada  V=  [v

1

  v

2

]-məxsusi  vektorlar  matrisi  (

1

,

1

2

1





v

v

),  S-məxsusi 

ədədlərdən ibarət olan diaqonal matrisdir (matrisin spektri). 

6. Matrisin izi-matrisin diaqonal elementlərinin cəmi,Tr(A) (və ya Sp(A)).  

Trace(A)=a

11

+a

22

+...+a

nn 

 

     Sintaksis:  

tr=sum(diag(A)). 

 

175 

 

 

 

7. Matrisin sinqulyar (baş) ədədləri- A

*

A və AA

*

 matrislərinin ortaq 

məxsusi λ

i

 ədədlərinin kvadrat kökünün qiymətləridir,





|

|

i

i





  σ

i

=svd(A). 

     Normal    matrislər  üçün  AA

*

  =  A

*

A  və  təbii  ki,bu  matrislərin  məxsusi 

ədədləri eyni olur.  

 

     

 

 

176 

 

     

 

      Göründüyü kimi, C1=AA* və C2=A*A matriclərinin  müxtəlif olmalarına 

baxmayaraq  məxsusi  ədədləri  eynidir:  Lyamda1=Lyamda2.  Sinqulyar  ədədlər 

isə bunlardan kv. kök alınıb azalma sırasına gərə düzülməklə əldə edilmişdir. 

Sinqulyar ədədlərin hasili matrisin determinantının moduluna bərabərdir: 

|det(A)|=σ

1

 σ

2

...σ

n

. 

8.  Matrisin  şərtləşmə  ədədi-  µ.Cəçri  Ax=b  tənliyjnjn  həll  etdikdə  həllin 

birqiymətli olması və A, b parametrlərinin kiçik dəyişmələrinə həssas olmaması 

(dayanıqlı olması)praktiki məsələlərin həlli zamanı çox önəmlidir.Həllin (yəni 

x-in)  hesablama  korrektliyi  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədindən  asılıdır.Bu  ədəd 

həllin  həssaslığını  təyin  edir  və  dayanıqlıq  göstəricisidir.Şərtləşmə  ədədi  A 

matrisinin cırlaşan matrisə 

0

)

det(



A

 yaxınlığını da xarakterizı edir.