H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

 

 

Bu  halda  n=2,  m=2  .  Matrisin  ölçüsü  2×2.Və  ya  sadəcə  demək  olar  ki, 

kvadratik matrisin ölçüsü 2-jə bərabərdir. 

3.Transponə  olunmuş  matris,  A

T

-sütunlarla 

sətirlərinin  yerləri 

dəyişdirilmiş  matris.Bu  əməliyyat  nəticəsində  a

ij

=a

ji 

olur.  İkinci  bənddəki  A 

matrisi üçün 

 

.

0

.

5

4

.

0

6

.

3

0

.

2















T

A

 

 

     Matlabda vektorun və matrisin transponə əməliyyatı  A



simvolunun köməyi 

ilə  yerinə  yetirilir.Ümumiyyətlə  ştrix  simvolu  kompleks  qoşma  A

*

  matrisi 

xarakterizə edir. Həqiqi matrislər üçün A

T

=A

*

. 

 

143 

 

     

 

     

 

4. Qoşma matris A

*

-ümumi halda matrisin elementləri içərisində kompleks 

ədədlər  olarsa  bu  matrisi  transponə  edib  kompleks    ədədlərin  yerinə  onların 

qoşmasını  yazmaq  lazımdır.  Həqiqi  ədədlərin  qoşması  özünə  bırabər 

olduğundan  elementləri  həqiqi  ədədlər  olan  matrislər  (həqiqi  matrislər)   üçün 

A

*

=A

T

.Məsələn, 



















0

.

5

4

.

0

10

6

.

3

0

.

2

i

A

 

olarsa 





















0

.

5

10

6

.

3

4

.

0

0

.

2

i

A

.

 

 

144 

 

     

 

     5. Unitar matris- A*A=AA*=İ şərtinin ödəyən kompleks (elementləri 

kompleks ədədlərdir) A matrisi. 

     6.Ortoqonal  matris-  həqiqi  (elementləri  həqiqi  ədədlərdir)  unitar  matris. 

Həqiqi  matris  üçün  A

*

=A

T 

olduğundan  ortoqonal  matris  üçün    A

T

  A=AA

T

=İ  

münasibəti  ödənilir. 

















)

cos(

)

sin(

)

sin(

)

cos(

t

t

t

t

A

 

matrisinin ortoqonal olmasını göstərək. 

     

 

     7. Üçbucaq matris-elementləri i>j üçün a

ij

=0 şərtinin ödəyən matris sağ və 

ya yuxarı üçbucaq matris adlanır. 

.

6

0

0

3

1

0

5

4

2























A

 

 

145 

 

     

 

i

ij

=0 şərti ödənilərsə matris sol və ya aşağı üçbucaq matris adlanır. 

          

 

     8.Simmetrik  matris-kbadratik  matrisin  (n=m)  elementləri  diaqonala 

nəzərən simmetrik olan matris.Başqa sözlə diaqonaldan kənar elementləri üçün 

a

ij

=a

ji

, i≠j. Simmetrik matris üçün A

T

=A. 

.

6

3

5

3

1

0

5

0

2























A

 

     Simmetriklik  çəp  diaqonala  nəzərən  ödənilərsə  belə  matris  çəpsimmetrik 

matris adlanır. 

    9. Diaqonal matris- diaqonaldan kənar elementləri sıfra bərabər olan matris. 

A=diag(a

11

 a

22

... a

nn

) işarə olunur. 

 

146 

 

.

6

0

0

0

1

0

0

0

2























A

 

     Matlab funksiyası: A=diag([a

11

;

 

a

22

; ...; a

nn

]). 

     

 

     Baş diaqonaldan kənarda olan diaqonalı doldurmaq üçün lki arqumentli 

diag(d, k) funksiyası nəzərdə tutulub. k kənar diaqonalın baş liaqonaldan nə 

qədər sağda (yuxarıda), -k isə solda (aşağıda) yerləşməsini təyin edir. 

     

 

 

     10.Vahid matris-diaqonal elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris. 

İ ilə işarə olunur. 

 

147 

 

.

0

0

1

0

0

1

,

1

0

0

0

1

0

0

0

1













































I

I

 

     Matlab funksiyası: 

İ=eye(n,m). 

     

 

     11. Sıfır matris- bütün elementləri sıfra bəraər olan matris. 

 

.

0

0

0

0

0

0















A

 

     Matlab funksiyası: 

A=zeros(n,m). 

     

 

     

12.

 

Seyrək matris- kifayyət qədər çoxlu sıfırları olan matris. 

.

0

0

6

0

1

0

0

0

0

























A

 

     Matlabda  seyrək matrisdə sıfırdan fərqli elementlərin  yerləşmə sxemini və 

sayını təyin etmək üçün spy(A) funksiyasından istifadə olunur (Şəkil 6.1).  

 

148 

 

 

Şəkil 6.1 

 

Şəkildən göründüyü kimi, elementlərdən biri a

22

 (-1), digəri isə a

31

 (6) yerləşir. 

Sıfra bərabərolmayan elementlərin sayı şəklin altında göstərilmişdir nz=2. 

     

13. Yalnız vahidlərdən tərtib olunmuş matris. 

 

.

1

1

1

1

1

1

1

1

1























E

 

     Mftlab funksiyası: 

).

,

( m

n

ones

E



 

     

 

 

     14. Təsadüfi elementlər matrisi. 0 və 1 intervalında 

bərabər paylanmış 

təsadüfi ədədlər almaq üçün rand(n,m),normal paylanma üçün isə randn(n,m) 

funksiyalarından istifadə olunur.Generasiya

)

,

(

*

)

(

0

0

m

n

randn

D

sqrt

m

R





düsturundan istifadə etməklə aparıla bilər.m

0

-orta qiymət (riyazi gözləmə), D

0

-

dispersiya, 







0

0

)

(

D

D

sqrt



orta kvadrik myiletmə. 

 

149 

 

     

 

 

     

 

 

 

150 

 

 

Şəkil 6.2 

 

     Təsadqfi  ədədlərin  hansı  paylanma  qanununa  malik  olduğunu  əyani 

müşahidə  etmək  üçün    təsadüfi  nəqtələri  (X,Y)  müstəvisində    yerləşdirmək 

lazımdır.  

 

      

 

 

 

Şəkil 6.3 

 

     Göründüyü  kimi,  təsadüfi  nöqtələr  müstəvidə  kifayyət  qədər  bərabər 

paylanmışlar. 

      15. Bloklu matris. Bu tip matris daha aşağı ölçülü matrislərdən ibarət olur: 

 

151 

 

 

Fərz edək ki, 

 

.

10

1

9

8

,

3

3

3

3

,

5

0

0

2

,

4

1

4

1

































































E

D

C

B

 

 

Matlabda bloklu matrisin qurulması: 

 

 

     Blokun ayrılması. Fərz edək ki, A matrisində  

 

 

 

blokunu  ayırmaq  tələb  olunur.  Bu  blok    3  və  4-cü  sətirlər  ilə  2  və  3-cü 

sütunların kəsişməsində yerləşdiyindən yazmaq olar: 

     

 

     Ayırdığımız bloku sıfırlaşdıraq: 

 

152 

 

     

 

16.Tərs matris- skalyardan fərqli olaraq matrislər üçün bölmə

 

əməliyyatı 

olmadığında n tırs matrisə vurma əməliyyatından istifadə olunur.A matrisinin 

tərsi A

-1

və ya inv(A) kimi işarə olunur: 

.

|

|

)

(

1

A

A

adj

A





 

adj(A)- birləşdirilmiş matris adlanır: 

 

.

...

...

...

)

(

2

1

2

22

21

1

12

11

T

nn

n

n

n

n

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

adj





































 

 

Burada A

ik

 matrisi a

ik

 elementinin cəbri tamamlayıcısıdır: 

.

)

1

(

ik

k

i

ik

M

A







 

M

ik

- a

ik

 elementinin minorudur (i sətrini və k sütununu pozduqdan sonra alınan 

matrisin təyinedicisi). 

     Məsələn,  



























2

1

5

0

7

2

1

3

4

A

 

matrisinin a

21

=2 elementinin minoru  

,

7

2

1

1

3

21







M

 

 

cəbri tamamlayıcısı isə A

21

=(-1)

2+1

7=-7. 

     Aşağıda Matlabda tərs matrisin alınmasının iki üsulu göstərilmişdir. 

 

153 

 

 

     17. Cırlaşan (məxsusi) matris- təyinedicisi (determinanantı) |A|=0 bərabər 

olan  matris.Matlabda  matrisin  determinantını  tapmaq  üçün    det(A) 

funksiysından istifadə olunur. 

     

 

     18. Müsbət (mənfi) müəyyən matris- əgər simmetrik (n=m) A matrisi x≠0 

vektoru üçün (yəni həm mənfi, həm də müsbət qiymətləri üşün) 

0

)

(





Ax

x

T

şərtini ödəyirsə belə matris müsbət (mənfi) müəyyən matris adlanır. Simvolik 

olaraq A> 0(A< 0) kimi işarə molunur.Bu anlayış Lyapunov və Hurvis üsulları 

ilə dayanıqlığı təyin etdikdə və idarəetmənin digər sahələrində istifadə olunur. 

     Matrisin müsbət müəyənliyini aşağıdakı şərtlərdən biri ilə yoxlamaq olar: 

     -matrisin  bütün  baş  (diaqonal)  minorları  (determinantları  və  ya 

təyinediciləri) sıfırdan böyük olmalıdır, M

ii

 >0, i=1,2,...,n (Silvester şərti); 

     -det(λİ-A)=0  xarakteristik  tənliyinin  əmsalları  sıfırdan  fərqli  olub 

növbələşən işarəyə malik olmalıdır; 

     -matrisin  məxsusi  ədədlərinin  (det(λİ-A)=0  xarakteristik  tənliyinin  kökləri)  

həqiqi hissəsi sıfırdan böyük olmalıdır, Re(λ

i

) >0. 

      Matlabda matrisin məxsusi ədədlərini təyin etmək üçün 

 

154 

 

eig(A)funksiyasından istifadə olunur. 

     

 

 

     Re(λ

1

)  <0,  Re(λ

1

)  <0  olduğundan  baxılan  matris  müsbət  müəyyən  matris 

deyil. 

     19.  Keçid  matrisi  -  xətti  diferensial  tənliklər  sisteminin  Koşi  düsturuna 

əsasən analitik həllini almaq üçün istifadə olunur:  

Ax

dt

dx



/

.  

x(t

0

)=x

0

. 

     Həll    

                                                  

.

)

(

0

)

(

x

e

t

x

0

t

-

t

A



 

     Burada

 



t

A

e

 keçid matrisi və ya matris eksponentası adlanır 

və aşağıdakı bircins xətti matris diferensial tənliyinin həllidir: 

,

/

)

(

A

dt

t

dФ



   

,

)

0

(

I

Ф



 

Doğrudan  da 

At

At

dt

d

e

А

e



/

olduğundan 

At

t

e





)

(

– 

-ölçülü 

matris tənliyin həllidir, I- n ölçülü vahid matrisdir. 

Alınmış nəticədə t=t-t

0

 yazmaq lazımdır. 

 

Keçid matrisinin təyin olunma üsulları

 

 

1.Tərs Laplas çevirməsinə əsaslanan üsul. 

Mühəndis  praktikasında 

-nin  hesablanmasının  konstrutiv 

üsullarından biri də tərs Laplas çevirməsinə əsaslanır: 

 . 

Burada  

 - rezolventa adlanır. 

2.Bilavasitə matris tənliyin həlli   

n)

(n



At

e

]

)

s

[(

L

e

1

1

At









A

I

R

A

I





s

 

155 

 

,   

. 

Axtarılan (

) ölçülü 

 matrisi keçid matrisidir, yəni  

. 

Matlabda realizasiya 

1.Tərs Laplas çevirməsinə əsaslanan üsul. Bu üsulun nəzəri əsasını 

 

düsturu  təşkil  edir.  Bu  halda  inv(



)  (tərs  matris)  və  ilaplace  (tərs  Laplas 

çevirməsi) funksiyalarından istifadə olunur.  

     

 

2.

 funksiyası.  Bu funksiyanın köməyi ilə 

 matrisinin verilmiş 

  zaman  anında  elementlərinin  ədədi  qiymətini  və  analitik  ifadəsini  təyin 

etməyə imkan verir. 

Aşağıda 

 qiyməti üçün proqramın realizasiyası göstərilmişdir.  

     

 

Aşağıda 

  eksponensial  matrisin 

















2

0

1

0

A

  matrisi  üçün  simvolik 

(analitik) təyin olunmasının proqramı göstərilmişdir.  

)

t

(

dt

)

t

(

d







A

I





)

0

(

n

n



)

t

(



At

e

)

t

(





]

R

[

L

e

1

1

At







)

expm(



At

e

t

5

.

1

t

k



At

e

 

156 

 

     

 

Hiperbolik  sinus 

  olduğunu  nəzərə  alsaq  həll  əvvəlki 

ilə eyni alınmışdır. t

0

≠0 olarsa nəticədə t=t-t

0

 yazmaq lazımdır. 

 

6.4. 

Matrisin elementlərinə müraciət olunması

 

 

Mатрисин елементинин айрылмасы цчцн ашаьыдакы ямрлярдян истифадя олунур: 

)

,

( j

i

A

 



  и-ъи сятрин ж-ъи сцтунундакы елементин айрылмасы; 

:)

,

(i

A

 



  и-ъи сятрин айрылмасы; 

)

(:, j

A

 



  ж-ъи сцтунун айрылмасы.  







m

n

A

















,

,

,

),

:

,

:

(



,



sətirləri  və 



,



sütunları  ilə 

məhdudlaşan blok. 

     Bu əməliyyatları 



























2

1

5

0

7

2

1

3

4

A

 

matrisinin misalında yerinə yetirək. 

1.

 

a

ij

 elementinin çağırılması: A(i,j). 

 

    

2

/

)

e

e

(

t

sinh

t

t







 

157 

 

      Elementin  korreksiya  olunması  (dəyişdirilməsi).  Aşağıda  A(3,2)=1 

elementinin korreksiya olunub 3-ə bərabər qəbul olunması göstərilmişdir.  

 

     

 

 

     

 

 

158