H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

Misal 6.3.

 Aşağıdakı xətti cıbri tənliklər cicteminə baxaq: 

 

.

999

.

7

4

999

.

3

2

2

1







































y

x

 

 

177 

 

     

Həll 

.

1

2



























y

x

 

     

Sistemin sağ tərəfinə (b-yə)azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

998

.

7

001

.

4

999

.

3

2

2

1







































y

x

 

     Yeni həll: 

.

000

.

4

999

.

3



























y

x

 

 

     

İndi sistemin əmsallarına (A-ya) azacıq dəyişiklik edək: 

 

.

999

.

7

4

998

.

3

001

.

2

001

.

2

001

.

1







































y

x

 

     

Həll: 

.

001388

.

0

994

.

3



























y

x

 

 

Görqndqyü kimi, sistemin əmsallarının və sağ tərəfinin azacıq dəyişməsi həldə 

böyük  dəyişiklərə  səbəb  olur.Buna  səbəb  sistemin  “pis  şərtləşməsidir”.  p=2 

evklid norması üçün A-nın şərtləşmə ədədi 

 

     

 

     Şərtləşmə  ədədinin 

1

24992







olması  sistemin,yəni  A  matrisinin,  “pis 

şərtləşmiş”  olmasını  göstərir. 

001

.

0

)

det(





A

olduğundan  A  cırlaşan  matrisə 

 

178 

 

çox  yaxındır.  Lakin  bu  göstərici  sistemin  “pis  şərtləşən”  olmasını  tam 

xarakterizə etmir. 

     Pis  şərtləşmiş  matrisə  aid  Hilbert  matrisini  göstərmək  olar.  Bu  matris  belə 

təyin olunur:H(i,j)=1/(i+j-1). 

     

Misal. 

 

     Göründüyü  kimi,  şərtləşmə  ədədi  µ=4.766*10

5

  çox  böyük  olduğundan 

Hilbert matrisi pis şərtləşmiş matrisdir. 

     Adətən  adaptiv  (özü  sazlanan)  sistemlərdə  cari  informasiya  əsasında  A 

parametrini  qiymətləndirdikdə  müxtəlif  təsadüfi  küylərin  mövcud  olması 

səbəbindən tapılmış A matrisi “pis şərtləçən “ olur. 

     Həllin  A  və  b  parametrlərinin  kiçik  dəyişmələrinə  qarşı  həssaslığını  

azaltmaq üçün “requlyarizasiya” üsüllarından istifadə olunur. 

      Ümumi  şəkildə  cırlaşan  olmayan  kvadratik  A  matrisinin  şərtləşmə  ədədi 

aşağıdakı şəkildə təyin olunur: 

.

1







A

A



 

Burada 



A

matrisin  verilmiş  normasıdır.  Əgər



A

spektral  norma 

şəklində verilərsə istənilən kvadratik matris üçün şərtləşmə dərəcəsi: 

.

min

max









 

Burada λ

max 

və λ

min

 A matrisinin ən böyük və ən kicik məxsusi ədədləridir. 

Simmetrik matris üçün 

.

|

|

max

i







 

 

179 

 

Xatırladaq ki, spektral norma

),

max(

)

max(

i

i

A









 yəni matrisin ən 

böyük  sinqulyar  ədədinə  bərabərdir.  Matlabda  matrisin  şərtləşmə  ədədini 

təyin etmək üçün µ=cond (A,p) funkciyasıdan istifadə olunur.Burada p ədədi 

mtrisin normasının tipini göstərir, p=1,2, inf və s. verilə bilər.p yazılmayanda 

avtomatik olaraq p=2, yəni evkilid norması götürülür. 

 

9. Matrisin normaları . 

 

Düzbucaqlı  n×m  ölçülü    matrislərüşün  aşağıdakı  normalardan  geniş 

istifadə olunur.  

9.1.p=1,1-norma-hər-bir  sütunun  elementlərinin  modullarının  cımi 

içərisində ən ən böyük (max) olanı: 

;

max

1

1

1











n

i

ij

m

j

a

A

 

A1=max(sum(abs(A),1)). 

 

9.2. p=2, evklid norması-bütün elementlerin kvadratları cəminin kv. Kökü: 

;

)

(

2

/

1

1

1

2

2





















 

n

i

m

j

ij

a

A

 

A2=sqrt(sum(sum(A.^2))). 

 

9.3.  p=∞,  ∞-norma-hər-bir  sətrin  elementlərinin  modullarının  cəmi 

içərisində ən böyük (max) olanı: 

;

max

1

1













m

j

ij

n

i

a

A

 

Ainf=max(sum(abs(A),2)). 

 

Misal 6.4.

 A matrisinin ∞- normasını hesablayaq: 

 

.

5

1

5

6

1

.

2

3

0

7

10





























A

 

.

17

]

11

,

1

.

11

,

17

max[

)]

5

1

5

(

),

6

1

.

2

3

(

),

0

7

10

max[(





























A

 

9.4. spektral (sinqulyar) norma- matrisin ən böyük sinqulyar ədədi                     

 

180 

 

);

max(

)

max(

i

i

s

A









 

As=max(eig (A)). 

 

Aşağıda verilmiş A matrisi üçün iki yol ilə şərtləşmə ədədini hesablayaq. 

p=∞ (p=inf) normasından istifadə edəcəyik. 

 

 

 

 

 

 

181 

 

 

Göründüyü  kimi,  ümumi 

1







A

A



  ifadəsi  və  c=cond(A,p)  Matlab 

funksiyasının köməyi ilə alnmış nəticələr eynidir. 

Deyd  edək  ki,  həmişə 

1





. 

100

1







intervalında  olarsa  matris  yaxşı 

şərtləşmiş hesab olunur.  

Matlabda  matrisin  normasını  hesablamaq  üçün  xüsusi  N=norm(A,p) 

funksiyası da mövcuddur. Məsələn, 

 

 

 

10. Vektorun norması. 

)

,...,

,

(

2

1

n

x









(vektor sətir) üşün norma: 

 

1

;

/

1

1

























p

x

p

n

k

p

k

p



 

 

Bu norma p göstəricisi ilə Helder norması adlanır.Helder normalarının ən 

geniş yayılmış formaları p=1, p=2, p=∞ qiymətləri üçün nəzərdə tutulmuşdur: 

 

.

max

;

;

1

2

/

1

1

2

2

1

1

k

n

k

n

k

k

n

k

k

x

x

x











































 

 

p=2 qiymətinə uyğun gələn norma evklid norması adlanır və bəzi hallarda 

E

x

kimi işarə olunur. 

 

 

Matlabda realizasiya 

 

 

182 

 

 

 

Matlabda xüsusi n=norm(x,p) funksiyası da mövcuddur.Məsələn, 

 

 

  11. Matrisin diaqonal formaya gətirilməsi. İdarəetmə nəzəriyyəsində və 

başqa sahələrdə  matrisin diaqonal şəklə gətirilmısi bir-şox riyazi əməliyyatları, 

məsələn, əvvəldə baxdığımız keçid matrisinin hesablanmasını, aslaşdırır. 

     Kvadratik  A  matrisi  üçün  elə  başqa  kvadratyik  P  matrisi  tapmaq  tələb 

olunur ki, aşağıdakı matris tənliyi ödənilsin: 

.

1







AP

P

 

Burada  Λ  diaqonal  matrisdir:  Λ=diag(λ

1

,λ

2

,  ...,λ

n

).  λ

i

-  A  matrisinin  məxsusi 

ədədləridir. P matrisinin sütunları isə A matrisinin məxsusi vektorlarıdır. 

     

Misal 6.5.

 Fərz edək ki, 

 

183 

 

.

7

14

8

1

0

0

0

1

0





























A

 

Xarakteristik tənlik: 

.

0

8

14

7

)

det(

2

3





















A

I

 

Buradan məxsusi ədədlər: 

.

4

,

2

,

1

3

2

1



















 

Məxsusi  v

i

 vektorları aşağıdakı tənliklər sisteminin həllindən tapmaq olar: 

.

3

,

2

,

1

,

v

v





i

A

i

i

i



 

Bu tənliklər sistemini birləşdirib aşağıdakı matris tənliyinə gətirmək olar: 

 

.

V

)

(

V



D

A



 

 

).

(

)

(

,

,...,

,...,

]

v

...

v

v

[

V

3

2

1

1

1

11

2

1









diag

D

v

v

v

v

nn

n

n

n



































 

 

1

11





qəbul etsək tapariq: 

 

.

16

4

1

v

,

4

2

1

v

,

1

1

1

v

3

2

1









































































 

     İndi P matrisini formalaşdırmaq olar: 

.

16

4

1

4

2

1

1

1

1





























P

 

 

     Göstərmək olar ki, nəticədə doğrudan da diaqonal matris alnmışdır: 

.

4

0

0

0

2

0

0

0

1

1































AP

P

 

       Məxsusi  ədədləri  və  vektorları  əvvəldə  göstərildiyi  kimi    [V,D]  

=eig(vpa(A)) Matlab funksiyasının köməyi ilə də təyin etmək olar. 

 

184 

 

     

 

 

 

 

 

      

 

     Məxsusi  vektorlar  sabit  vuruq  dıqiqliyində  sərbəst  olduğundan  Matlabda  

V= [v

1

 v

2

 v

3

] fərqli alınmışdır.Buna baxmayaraq yekun matris diaqonal şəkildə 

alınmışdır: 

.

4

0

0

0

1

0

0

0

2

1































AP

P

 

  12.Kvadratik  forma.Xətti  tənzimləmə  sistemlərinin  dayanıqlığını 

Lyapunovun 2-ci üsulu ilə təyin etdikdə kvadratik formadan istifadə olunur: 

 

185 

 

.

)

,..,

,

(

1

1

2

1

j

i

n

i

n

j

ij

n

x

x

q

x

x

x

V



 



 

     Matris formasında bu ifdə: 

.

)

(

Qx

x

x

V

T



 

Burada 







n

T

n

R

x

x

x

x

)

,..,

,

(

2

1

n-ölçülü vektordur, 

 

























































T

ij

nn

n

n

n

n

Q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

Q

]

[

2

2

2

...

2

1

1

22

21

12

1

1

21

12

11





 

simmetrik matrisdir. 

     Əgər simmetrik (n=m) A matrisi x≠0 vektoru üçün (yəni həm mənfi, həm də 

müsbət  qiymətləri  üşün) 

0

)

(





Ax

x

T

şərtini  ödəyirsə  belə  matris  müsbət 

(mənfi) müəyyən matris adlanır. Simvolik olaraq A> 0(A< 0) kimi işarə olunur. 

     

Misal 6.6. 

 

     

 

 

     Nəticədə aşağıdakı kvadratik forma alınmışdır: 

.

8

2

2

2

2

1

2

1

x

x

x

x

V







 

 

186 

 

     13. “Sehirli” kvadrat 

Bu  matris  n×n  (n>=3)    ölçülü  kvadrat  matris  olub  sətirləri,  sütunları  və  baş 

diaqonal ellementlərinin cəmi  biri-birinə bərabərdir.  

     “Sehirli”  matrisi  qurmaq  üçün 

magic(n)  funksiyasından  istifadə  olunur.  n- 

kvadrat matrisinin ölçüsüdür. 

     

Misal 6.7. 

. 

     

 

 

Çalışmalar- 6.1 

 

A  вя  B  матрисляри верилмишдир: 















































3

2

N

8

N

9

5

1

N

6

7

3

N

4

N

Nq

2

Nq

13

Nq

Nq

N

1

N

A

2

,

































33

,

0

8

9

6

5

62

6

3

3

92

,

0

2

12

5

5

,

0

8

7

B

 

 

 

Бц  матрисляр  цзяриндя  MатLAB  системиндя  ъядвял  6.1-дя  эюстярилян 

ямялиййатлары йериня йетирмяли (

2

X



 эютцрмяли). 

Burada  N-tələbənin  jurnaldakı  sıra  nömrəsi,  Nq-  qrup  nömrəsidir  (3 

rəqəmli). 

 

187 

 

FƏSİL 7

 

 

CƏBRİ VƏ TRANSENDRNT TƏNLİKLƏRİN  

 

HƏLLİ

 

_________________________________________________________

 

 

 

Мялумдур  ки,  бир  чох  тянликлярин  вя  тянликляр  системинин  аналитик  щялли 

йохдур. Илк нювбядя бу яксяр трансендент тянликляря аиддир. Исбат олунмушдур 

ки,  дяряъяси  4-дян  йухары  олан  истянилян  ъябри  тянлик  цчцн  щялл  дцстуруну 

гурмаг  (йяни,  аналитик  щялл  етмяк)  мцмкцн  дейил.  Лакин  беля  тянликляри 

верилмиш дягигликля тягриби щялл етмяк олар. 

 

MatLAB  мцщитиндя  ъябри  вя  трансендент  тянликлярин  щялли  ашаьыдакы 

стандарт (гурашдырылмыш) функсийаларын кюмяйи иля щяйата кечирилир: 

)

solve(

,