Hilbert fazolari 1-ta’rif: Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi

Chekli o'lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlandan farqli o'laroq, cheksiz o'lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spekrini o'rganish ancha qiyin masala. Lekin kompakt operatorlarning spektrini to'laroq o'rganish mumkin. Kompakt operatorlar xossalariga ko'ra chekli o'lchamli operatorlarga o'xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq tavsiflanadi. Bundan tashqari, kompakt operatorlar ko'plab tadbiqlarga ega, masalan integral tenglamalar nazariyasida.

4-ta’rif: Agar va bo'lsa, u holda A ga chekli o'lchamli operator deyiladi. Agar bo'lsa, u holda A ga n o'lchamli operator deyiladi.

4-ta’rif: Agar va bo'lsa, u holda A ga chekli o'lchamli operator deyiladi. Agar bo'lsa, u holda A ga n o'lchamli operator deyiladi.

5-ta’rif: Bizga operator berilgan bo'lsin. Agar A operator X dagi har qanday chegaralangan to'plamni Y dag nisbiy kompakt to'plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator yoki to'la uzluksiz operator deyiladi.

4-teorema. chiziqli operator kompaktdir.

5-teorema. , bo'lsin. U holda A kompakt operator bo'ladi.

• 
  

2-lemma. X –chiziqli normalangan fazo va lar X dagi chiziqli erkli sistema bo'lsin. bilan elementlarning chiziqli qobig’idan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlar mavjud:

2-lemma. X –chiziqli normalangan fazo va lar X dagi chiziqli erkli sistema bo'lsin. bilan elementlarning chiziqli qobig’idan tashkil topgan qism fazoni belgilaymiz. U holda quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi vektorlar mavjud:

1) ; 2) ; 3) .

6-ta’rif: Bizga X,Y – Banax fazolari berilgan bo'lsin. Agar chiziqli operator X fazodagi birlik sharni Y fazodagi nisbiy kompakt to'plamga akslantirsa, u holda A kompakt operator deyiladi.

7-ta’rif: Bizga ( – Banax fazolari) operator va ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlik berilgan bo'lsin. Agar ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, u holda A ga kompakt operator deyiladi.

•