Hilbert fazolari 1-ta’rif: Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi

7-misol. separabel Hilbert fazosida quyidagi to'plam qism fazo tashkil qiladi.

Agar H Hilbert fazosi separabel bo'lsa, uning ixtiyoriy qismi ham separabel bo'ladi. Bu quyidagi lemmadan kelib chiqadi.

1-lemma. separabel Evklid fazosining har qanday qismi yana separabeldir.

• 
  

2-teorema. H separabel Hilbert fazosining ixtiyoriy M qism fazosida shunday ortonormal sistema mavjudki, uning chiziqli qobig’ining yopig’I M ga teng.

2-teorema. H separabel Hilbert fazosining ixtiyoriy M qism fazosida shunday ortonormal sistema mavjudki, uning chiziqli qobig’ining yopig’I M ga teng.

3-teorema. Agar M – H Hilbert fazosining yopiq qism fazosi bo'lsa, u holda ixtiyoriy element yagona usul bilan yig’indiga yoyiladi, bu yerda , .

3-ta’rif: Agar H Hilbert fazosining ixtiyoriy elementi

ko'rinishda tasvirlansa, u holda H fazo o'zaro ortogonal va qism fazolarning to'g’ri yig’indisiga yoyilgan deyiladi va

ko'rinishida yoziladi.

• 
  

Kompakt operatorlar

Bizga X – Banax fazosi va to'plam berilgan bo'lsin. Agar M to'plamdan olingan ixtiyoriy ketma-ketlikdan M da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, M ga kompakt to'plam deyiladi. Agar N to'plamning yopig’i [N] kompakt to'plam bo'lsa, u holda N nisbiy kompakt to'plam deyiladi. To'plam nisbiy kompakt bo'lishi uchun uning to'la chegaralanagn bo'lishi zarur va yetarli. Chekli o'lchovli fazolarda to'plam kompakt bo'lishi uchun uning cheraralangan va yopiq bo'lishi zarur va yetarlidir. Asosiy funksional fazolardan biri C[a,b] fazodir. Bu fazodagi to'plamning kompaktlik kriteriyasi Arsela teoremasi yordamida bayon qilingan.

• 
  

Chekli o'lchamli fazolarda aniqlangan chiziqli operatorlandan farqli o'laroq, cheksiz o'lchamli fazolardagi ixtiyoriy chiziqli operatorning spekrini o'rganish ancha qiyin masala. Lekin kompakt operatorlarning spektrini to'laroq o'rganish mumkin. Kompakt operatorlar xossalariga ko'ra chekli o'lchamli operatorlarga o'xshab ketadi va ularning spektri yetarlicha aniq tavsiflanadi. Bundan tashqari, kompakt operatorlar ko'plab tadbiqlarga ega, masalan integral tenglamalar nazariyasida.