Hilbert fazolari 1-ta’rif: Cheksiz o'lchamli to'la Evklid fazosi Hilbert fazosi deyiladi

4-lemma. H kompleks Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma bo'lgan chegaralangan A operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.

4-lemma. H kompleks Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma bo'lgan chegaralangan A operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.

5-lemma. O'z-o'ziga qo'shma chegaralangan operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o'zaro ortogonaldir.

11-teorema. (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o'z-o'ziga qo'shma, chiziqli A operator berilgan bo'lib, - uning barcha nolmas, xos qiymatlari ketma-ketligi bo'lsin. U holda H fazoda shu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlarda iborat shunday ortonormal sistema mavjudki, har bir ξ∊H element yagona usulda

11-teorema. (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o'z-o'ziga qo'shma, chiziqli A operator berilgan bo'lib, - uning barcha nolmas, xos qiymatlari ketma-ketligi bo'lsin. U holda H fazoda shu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlarda iborat shunday ortonormal sistema mavjudki, har bir ξ∊H element yagona usulda

ko'rinishda tasvirlanadi, bu yerda vektor shartni qanoatlantiradi. Bu holda

.

Agar nolmas xos qiymatlar soni cheksiz bo'lsa, u holda .

• 
  

6-lemma. A kompakt operator va ketma-ketlik ξ elementga kuchsiz yaqinlashsa, u holda

6-lemma. A kompakt operator va ketma-ketlik ξ elementga kuchsiz yaqinlashsa, u holda

7-lemma. A – o'z-o'ziga qo'shma chegaralangan operator va bo'lsin. Agar funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda ekanligidan

tengliklar kelib chiqadi.

8-lemma. Agar A – o'z-o'ziga qo'shma chegaralangan operator bo'lib, funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda biror λ son uchun tenglik o'rinli.

• 
  

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. Ayupov Sh.A., Berdikulov M.A., Turgunbayev R.M. Funksional analiz. Toshkent, 2007. 2. Abdullaev J., Ganixojaev R.N., Shermatov M.H., Egamberdiev O.I. Funksional analiz, Toshkent, 2009. 3. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementi teoriy funksiy i funksional'nogo analiza. M: Nauka, 1977. 4. Sarimsakov T.A. Funksional analiz kursi. Toshkent, O'qituvchi, 1980. 5. Sarimsakov T.A. Haqiqiy o'zgaruvchili funksialar nazariyasi. Toshkent, 1989

http://fayllar.org