Himoyaga ruxsat etildi” Magistratura bo’limi boshlig’i “ ” 2023-yil

2.3-§. masa yechimining yagonaligi

Endi masala yechimining yagonaligini isbotlashga o‘tamiz.

Quyidagi lemmani keltiramiz:
2.1-lemma. Agar (2.1.2), (2.1.3) shartlar bajarilsa, u holda bittadan ortiq yechimga ega bo‘lmaydi.
2.1-lemmaning isboti. Aytaylik bo‘lsin, u holda masala yechimining yagonaligi masala yechimining yagonaligidan kelib chiqadi.
Parabolik-giperbolik tipdagi tenglama uchun ekstremum printsipidan foydalanib, [21],[22] e‘tiborga berilsa, masala yechimining yagonaligini isbotlash oson, agar
,
Binobarin, bo‘lsa, u holda . Bu yerdan [0,1] segmentda ning kamida bitta nol nuqtasi borligi kelib chiqadi. Aytaylik, funktsiyaning nollari bo‘lsin, u holda segmentni ko‘rib chiqamiz. Binobarin, , u holda barcha uchun funksiya yoki bo‘ladi. Faraz qilaylik, bo‘lsin, u holda biz interval ichida funksiyaning musbat maksimum (manfiy minimum) ga erishmasligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, nuqtada funktsiya o‘zining musbat maksimum (manfiy minimum) ga erishsin, ya‘ni
. (2.3.1)
Bu erdan va (2.1.14₂) ni e‘tiborga olishdan
. (2.3.2)
kelib chiqadi.
Bundan tashqari, и differensial operatorlar [11] va (2.3.1), (2.3.2) shartlar bo‘yicha musbat maksimal nuqtada qat‘iy musbat (manfiy minimal nuqtada, qat‘iy manfiy) ekanligidan foydalanib, ya‘ni.

. (2.3.3)
Agar bo‘lsa, u holda (2.3.3) ga ko‘ra (2.2.14) dan musbat maksimum (manfsalbiy minimum) nuqta uchun quyidagini olamiz:
,
bu esa parabolik tenglamalar uchun ekstremum printsipiga zid keladi [21], [24],
unga ko‘ra musbat maksimum (manfiy minimum) nuqtada bo‘lishi kerak.
Shuning uchun funktsiya nuqtada o‘zining maksimum (manfiy minimum) ga yetmaydi. Bundan,
, . (2.3.4)
_{ekanligi kelib chiqadi.}
Yuqoridagi usuldan foydalanib, biz ushbu
, (2.3.5)
tenglikni isbotlaymiz.
Agar bo‘lsa, ya‘ni, , u holda (2.3.4)va (2.3.5) dan
, . (2.3.6)
kelib chiqadi.
Agar bo‘lsa, u holda funksiya oraliqda eksteremga ega bo‘lolmaydi. U holda funksiya da monoton yoki , .
funktsiya segmentda monoton emasligini ko‘rsatamiz.
Agar bo‘lsa, (2.2.7₂), (2.3.4), (2.3.5) ga ko‘ra (2.1.4) ni inobatga olib (2.2.1) dan quyidagini olamiz:


(2.3.7)
Agar , va monoton o‘sib [kamayib] borayotgan bo‘lsa, u holda
, (2.3.8)
lekin, (2.3.7) dan

kelib chiqadi.
Bu yerdan va (2.3.8) dan funktsiya monoton emasligi kelib chiqadi. Demak,
, . (2.3.9)
(2.3.4), (2.3.5) va (2.3.9) ni inobatga olsak,
, . (2.3.10)
kelib chiqadi.
(2.3.10) ga ko‘ra (2.2.7₁) va (2.2.7₂) dan (2.2.1₂) ni hisobga olib, topamiz:
, . (2.3.11)
(2.3.10) va (2.3.11) ga ko‘ra va parabolik tipdagi buziladigan tenglama uchun ekstremum printsipi [21],[22] ni hisobga olgan holda, biz nol chegara shartlariga ega bo‘lgan birinchi chegaraviy masala nolga teng bo‘lmagan yechimga ega emas degan xulosaga keldik, ya‘ni.
. (2.3.12)
sohada (2.2.3) tenglama uchun Koshi-Gursa masalasini berilganlar nol bo‘lganda ya‘ni. ( ) yechishdan bo‘lishi kelib chiqadi. Buni va (2.3.12) ni hisobga olib, (2.2.1₁) dan sohada
. (2.3.13)
ekanligini topamiz.
Bu (2.2.8) tenglama uchun masala yechishning yagonaligini isbotlaydi.
(2.2.1) dan (2.3.11) va (2.3.13) ni hisobga olgan holda, soda ni topamiz. Bu esa (2.1.1) tenglama uchun masala yechimi yagonaligini bildiradi