I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

5-masala: Berilgan М₀(х₀,у₀) nuqtadan berilgan L to‘g‘ri chiziq‘gacha bo‘lgan d masofani toping.
Yechish: L to‘g‘ri chiziq umumiy tenglamasi Aх+Bу+C=0 bilan berilgan bo‘lsin. Berilgan М₀(х₀,у₀) nuqta bu L to‘g‘ri chiziqda yotmaydi deb olamiz, chunki aks holda d=0 bo‘lishi ravshan. М₀(х₀,у₀) nuqtadan L to‘g‘ri chiziqqa o‘tkazilgan perpendikular asosini М₁(х₁,у₁) deb belgilaymiz (24-rasmga qarang).

6-rasm

Berilgan L to‘g‘ri chiziqning n=(A,B) normal va uchi M₁, boshi esa M₀ nuqtada joylashgan d=(x₀– x₁, y₀– y₁) vektorlarni qaraymiz. Bu vektorlar kollinear va ularning yo‘nalishlari bir xil yoki qarama-qarshi bo‘lishi mumkin.
Dastlab n=(A,B) va d=(x₀–x₁, y₀– y₁) vektorlar bir xil yo‘nalgan holni ko‘ramiz. Bu holda ular orasidagi burchak φ=0 bo‘ladi. Unda n·d skalyar ko‘paytmani ta’rifi va koordinatalardagi ifodasiga asosan ushbu tenglikni hosil etamiz:
n·d= |n|·|d|·cosφ=|n|·|d|·cos0=|n|·|d|=d·
М₁(х₁,у₁) nuqta L to‘g‘ri chiziqda yotganligi uchun
Ax₁+ By₁+C=0 => C= –( Ax₁+ By₁)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Shuning uchun
A(x₀–x₁)+ B(y₀–y₁)= Ax₀+ By₀–( Ax₁+ By₁)= Ax₀+ By₀+C
deb yozish mumkin. Unda yuqoridagi n·d skalyar ko‘paytma ifodasidan

formulaga ega bo‘lamiz.
Agar n=(A,B) va d=(x₀– x₁, y₀– y₁) vektorlar qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, ular orasidagi burchak φ=180⁰ va bu holda cos φ=cos180⁰ = –1 bo‘ladi. Yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, bu holda

natijaga erishamiz. Bu ikkala holni birlashtirib
(9)
umumiy formulani hosil etamiz.
Izoh: Masala yechimidan kelib chidadiki, agar Ax₀+ By₀+C>0 bo‘lsa М₀(х₀,у₀) nuqta umumiy tenglamasi Aх+Bу+C=0 bo‘lgan L to‘g‘ri chiziqdan yuqorida va aksincha, Ax₀+ By₀+C<0 bo‘lsa, L to‘g‘ri chiziqdan pastda joylashgan bo‘ladi. Ax₀+ By₀+C=0 holda esa М₀(х₀,у₀) nuqta L to‘g‘ri chiziqda yotishi tushunarlidir.