I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

3-masala: Fazoda berilgan ikkita L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlar orasidagi φ burchakni toping.
Yechish: Fazoda berilgan ikkita L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlarning kanonik tenglamalarini olamiz:
(3)
Bu holda L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlar orasidagi φ burchakni topish masalasi ularning a₁=(m₁, n₁, p₁) va a₂=(m₂, n₂, p₂) yo‘naltiruvchi vеktorlari orasidagi burchakni topish masalasiga keltiriladi. Unda ikkita vеktor orasidagi burchak formulasiga asosan (III bob,§2, (5) formula) masala javobi
(4)
ko‘rinishda ekanligini aniqlaymiz.
Masalan, kanonik tenglamalari

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar orasidagi φ burchakni topamiz:
.
4-masala: Fazoda berilgan ikkita L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlarning perpendikularlik va parallellik shartini toping.
Yechish: Agar L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlar pеrpеndikular bo‘lsa, u holda φ=0 va (4) formulada cosφ=0 bo‘ladi. Bundan esa ikki to‘g‘ri chiziqning pеrpеndikularlik sharti quyidagicha ekanligi kelib chiqadi:
m₁m₂ + n₁n₂ + р₁р₂ =0 (5)
Agar L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, u holda ularning yo‘naltiruvchi vеktorlari a₁=(m₁, n₁, p₁) va a₂=(m₂, n₂, p₂) o‘zaro kollinear bo‘ladi. Bundan, ikki vektorning kollinearlik shartiga asosan (III bob, §3, (6) formula), ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik sharti kelib chiqadi:
. (6)
Masalan, kanonik tenglamalari

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar perpendikular, chunki
m₁m₂ + n₁n₂ + р₁р₂=(−3)∙6+2∙5+4∙2=0,
ya’ni (5) shart bajariladi.
Kanonik tenglamalari

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar esa parallel, chunki
,
ya’ni (6) shart bajariladi.