I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

FAZODAGI TO‘G‘RI CHIZIQ VA TEKISLIKKA DOIR
ARALASH MASALALAR

Bu paragrafda fazodagi to‘g‘ri chiziq va tekislik bilan bog‘liq ayrim masalalar qaraladi. Bu masalalarda ham to‘g‘ri chiziq, ham tekislik qatnashgani uchun ular aralash masalalar deyiladi.

1-masala: Fazoda berilgan L to‘g‘ri chiziq bilan P tekislik orasidagi α burchakni toping.
Yechish: Masalani yechish uchun L to‘g‘ri chiziqning

kanonik va P tekislikning Ах+Ву+Сz+D=0 umumiy tenglamasiga murojaat etamiz. Bu tenglamalardan L to‘g‘ri chiziqning a=(m,n,p) yo‘naltiruvchi va P tekislikning n=(A,B,C) normal vеktorlarini aniqlaymiz. Bu vektorlar orasidagi burchakni φ deb olsak, unda quyidagi 39-rasmdan izlanayotgan burchak α=90⁰−φ bo‘lishini ko‘ramiz:

Bu holda sinα=sin(90⁰−φ)=cos φ va, ikki vektor orasidagi burchak formulasiga asosan (III bob,§2, (5)) , ushbu natijani olamiz:
. (1)
Masalan, kanonik tenglamasi

bo‘lgan L to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi

bo‘lgan P tekislik orasidagi burchak

2-masala: Fazoda berilgan L to‘g‘ri chiziq bilan P tekislikning perpendikularlik va parallellik shartini toping.
Yechish: Berilgan L to‘g‘ri chiziqning kanonik va P tekislikning umumiy tenglamalaridan ularning a=(m,n,p) yo‘naltiruvchi va n=(A,B,C) normal vеktorlarini aniqlaymiz.
I. Berilgan L to‘g‘ri chiziq va P tekislik o‘zaro parallel bo‘lsin. U holda L to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vеktori a=(m,n,p) va P tekislik normali n=(A,B,C) o‘zaro pеrpеndikular (ortogonal) bo‘ladilar. Bundan, ikki vektorning ortogonallik shartiga asosan (III bob,§2,(6) formula),
Аm + Bn +Cр =0 (2)
tenglikka kelamiz. (2) L to‘g‘ri chiziq va P tekislikning parallellik shartini ifodalaydi. Bu natijaga (1) formulada =0 deb ham erishish mumkin.