I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

5-masala: Berilgan M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o‘tuvchi va L₁ hamda L₂ to‘g‘ri chiziqlarga parallel joylashgan P tekislik tenglamasini toping.
Yechish: Berilgan M₀(x₀, y₀, z₀) nuqtadan o‘tuvchi barcha tekisliklar tenglamasi A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0 ko‘rinishda bo‘lishi bizga ma’lum. Bu yerdan izlanayotgan P tekislik tenglamasini topish uchun n=(A,B,C) normal vektorni aniqlash kifoya. Buning uchun berilgan L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlarning kanonik tenglamalarini olamiz:
(6)
Bu tenglamalardan L₁ va L₂ to‘g‘ri chiziqlarning a₁=(m₁, n₁, p₁) va a₂=(m₂, n₂, p₂)
yo‘naltiruvchi vektorlarini topamiz. Masala shartiga asosan bu vektorlar izlanayotgan P tekislikka parallel bo‘ladi. Unda ularning vektorial ko‘paytmasi a₁×a₂ bu tekislikka perpendikular joylashgan bo‘ladi va shu sababli normal vektor n= a₁×a₂ deb olish mumkin. Bu holda r=(x−x₀, y−y₀, z−z₀) vektorni kiritib,skalyar va aralash ko‘paytma ta’riflari hamda ularning koordinatalardagi ifodasini eslab, masala javobiga quyidagicha erishamiz:
A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0 => n∙r=0 => a₁×a₂∙r=0 => a₁a₂r=0 =>
. (7)
Testlardan namunalar

1. 
   M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtadan o‘tuvchi va a=(m,n,p) vektorga parallel to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini ko‘rsating.
   

A) ; B) m(xx₀)+n(yy₀)+p(zz₀)=0;
C) m(xx₀)=n(yy₀)=p(zz₀); D) ;
E) To‘g‘ri javob keltirilmagan.

2. 
   Kanonik tenglamasi ko‘rinishda bo‘lgan L to‘g‘ri chiziq qanday xususiyatga ega ?
   

1. 
   L to‘g‘ri chiziq YOZ koordinata tekisligiga parallel joylashgan;
   
2. 
   L to‘g‘ri chiziq YOZ koordinata tekisligiga perpendikular joylashgan;
   
3. 
   L to‘g‘ri chiziq YOZ koordinata tekisligini kesib o‘tadi;
   
4. 
   L to‘g‘ri chiziq YOZ koordinata tekisligini kesib o‘tmaydi;
   
5. 
   To‘g‘ri javob keltirilmagan.
   

3. 
   Fazodagi L to‘g‘ri chiziqning kanonik
   

tenglamasida m=0 bo‘lsa, L qanday xususiyatga ega bo‘ladi ?

1. 
   L to‘g‘ri chiziq OX koordinata o‘qiga parallel joylashgan;
   
2. 
   L to‘g‘ri chiziq OX koordinata o‘qiga perpendikular joylashgan;
   
3. 
   L to‘g‘ri chiziq OX koordinata o‘qini kesib o‘tadi;
   
4. 
   L to‘g‘ri chiziq OX koordinata o‘qini kesib o‘tmaydi;
   
5. 
   To‘g‘ri javob keltirilmagan.
   

4. 
   Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektorining koordinatalarini toping.
   

A) (3, 1, 0); B) (3, 1, 0); C) (2,5, 3) ; D) (2, 5, 3) ;
E) to‘g‘ri javob keltirilmagan .

5. 
   Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori modulini toping.
   

A) ; B) ; C) 4; D) 2; E) .

6. 
   Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning boshlang‘ich nuqtasining koordinatalarini toping.
   

A) (3, 1, 0); B) (3, 1, 0); C) (2,5, 3) ; D) (2, 5, 3) ; E) to‘g‘ri javob keltirilmagan .

7. 
   Umumiy tenglamasi
   

bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini toping.
A) B)
C) D)
E)

8. 
   Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi bo‘lgan tekislik orasidagi  burchakni toping.
   

A) 0⁰ ; B) 30⁰ ; C) 45⁰ ; D) 60⁰ ; E) 90⁰ .

9. 
   Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi 3x−2y+Cz+1=0 bo‘lgan tekislik m va C parametrlarning qanday qiymatida o‘zaro perpendikular bo‘ladi ?
   

A) m=3, C=−1; B) m=−3, C=1 ; C) m=3, C=1 ;
D) m=−6, C=1,5 ; E) m=2,5, C=4.

10. 
    Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi Ax+By+3z−5=0 bo‘lgan tekislik A va B parametrlarning qanday qiymatida o‘zaro perpendikular bo‘ladi ?
    

A) A=3, B=−1; B) A=−3, B=4,5 ; C) A=2,5, B=1,5 ;
D) A=−6, B=1,5 ; E) A=2,5, B=4.

11. 
    Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi Ax+By+Cz+D=0 bo‘lgan tekislikning parallellik shartini ko‘rsating.
    

A) ; B) A²+B²+C²=m²+n²+p² ; C) Am+Bn+Cp=0 ;
D) A=m, B=n, C=p ; E) Am+Bn+Cp0.

12. 
    Kanonik tenglamasi bo‘lgan to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi x−3y+6z+2=0 bo‘lgan tekislik n parametrning qanday qiymatida o‘zaro parallel bo‘ladi ?
    

A) 0; B) 1 ; C) ±1 ; D) −3 ; E) 2.


XULOSA
Tekislikdagi analitik geometriyada chiziqlarning xususiyatlari ularning tenglamalari orqali algebraik usulda o‘rganiladi. Eng sodda va eng ko‘p uchraydigan chiziq–to‘g‘ri chiziqdir. Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqlarning umumiy, burchak koeffitsiyentli, kesmalardagi, normal, kanonik va parametrik tenglamalarini ko‘rish mumkin. Bu tenglamalardan kelgusida to‘g‘ri chiziqqa doir turli masalalarni yechishda foydalaniladi.
Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning turli tenglamalaridan foydalanib ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni, ularning parallellik va perpendikularlik shartlarini, nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha masofani topish kabi geometrik masalalar osonlik bilan o‘z yechimini topadi. To‘g‘ri chiziq tenglamalarining iqtisodiy tatbig‘iga misol sifatida talab va taklif funksiyalari chiziqli bo‘lganda ularning muvozanat narxini topish masalasini ko‘rsatish mumkin.
Fazodagi to‘g‘ri chiziq o‘zining yo‘naltiruvchi vektori va boshlang‘ich nuqtasi bilan to‘liq aniqlanadi. Bu ma’lumotlar asosida to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi topiladi. Fazodagi to‘g‘ri chiziq kanonik tenglamadan tashqari parametrik va umumiy tenglamasi orqali ham berilishi mumkin. Kerak bo‘lganda bu tenglamalarning biridan ikkinchisiga o‘tib bo‘ladi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamalari va vektorial algebradan foydalanib to‘g‘ri chiziqlarga doir bir qator masalalarni algebraik usulda yechish mumkin. Masalan, ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni topish, to‘g‘ri chiziqlarning parallellik va perpendikularlik shartlarini aniqlash, ayqash to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani hisoblash, berilgan xususiyatlarga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini keltirib chiqarish kabi masalalar shular jumlasiga kiradi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziq va tekislik tenglamalaridan foydalanib, ular orasidagi munosabatlarga doir turli masalalarni analitik usulda yechish mumkin. Bularga misol sifatida to‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash, ularning parallellik va perpendikularlik shartlarini aniqlash, kesishish nuqtasini topish, berilgan to‘g‘ri chiziqdan o‘tuvchi tekisliklar dastasi tenglamasini keltirib chiqarish kabi masalalarni ko‘rsatib bo‘ladi.


ADABIYOTLAR

1.