I. A. Karimov Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangi taqdirmizni hal qiluvchi muammoga aylanmoqda. Jamiyatimizning yangilanishi, hayotimiz taraqqiyoti va istiqboli, amalga

1. Vektor tushunchasi va ular ustida chiziqli amallar


Vektor tushunchasi, vektorlarni qo‘shish qoidalari
Ta’rif-1.1. Yo‘nalishga ega bo‘lgan kesma vektor deb ataladi.
Biz vektorni ko‘rinishida yoki bitta kichik lotin harfi bilan ko‘rinishida belgilaymiz. Vektorni ko‘rinishida belgilasak nuqtalar mos ravishda vektorning boshi va oxiri joylashgan nuqtalardir, vektorning uzunligi , ko‘rinishida belgilanadi.

B
Agar vektorning boshi va oxiri bitta nuqtada bo‘lsa, u nol vektor deyiladi. Nol vektor yo‘nalishga ega emas, uning uzunligi esa nolga teng. Nol vektor ko‘rinishida yoziladi.






A



Chizma -1.1



Chizma-1.2
Ta’rif-1.2. Ikkita va vektorlardan vektor boshini vektor oxiriga qo‘yilganda vektor boshidan vektor oxiriga yo‘naltirilgan vektor, bu vektorlarning yig‘indisi deyiladi va ko‘rinishida yoziladi.
Yuqorida keltirilgan vektorlarni qo‘shish qoidasi uchburchak qoidasi deyiladi.
Vektorni songa ko‘paytirish
Ta’rif-1.3. Berilgan qo’shish son va vektorning ko‘paytmasi shunday vektorki, uning uzunligi   ga teng, yo‘nalishi: >0 bo‘lganda vektor yo‘nalishi bilan bir xil, <0 bo‘lganda esa vektor yo‘nalishiga qarama-qarshi bo‘ladi. Ko‘paytma ko‘rinishida yoziladi.
Vektorlar algebrasi deganda, vektorlar to‘plamida vektorlarni qo‘shish va skalyar
songa ko‘paytirish amallari tushuniladi. Biz bilan hamma vektorlar to‘plamini belgilaymiz. Bunda vektorlarimiz bir to‘hri chiziqda, bir tekislikda yoki fazoda yotgan bo‘lishi mumkin.
Vektorlarni qo‘shish va skalyar songa ko‘paytirish amallari quyidagi xossalarga ega:
1. uchun; – kommutativlik.
2. uchun; -assosiativlik.
3. uchun
4. uchun; -birlik element.
5. hamda uchun
6. va uchun:
7. va uchun
8. uchun
Bu xossalarning ba’zilarini isbotlaymiz, ba’zilarining isbotini esa o‘quvchilarga havola qilamiz.
Birinchi xossani isbotlash uchun ixtiyoriy ikkita va vektorlarning boshini bitta nuqtaga joylashtiramiz va



Chizma – 1.3

Chizmadagi parallelogrammni hosil qilamiz. Bu parallelogrammdagi uchburchakdan tenglik, uchburchakdan esa tenglikni hosil qilamiz (chizma-1.3).

Ikkinchi xossani isbotlash uchun vektorning boshini O nuqtaga, vektorning boshini vektorning oxiriga joylashtiramiz va vektorning boshini esa vektorning oxiriga joylashtiramiz. Chizmadan quyidagi tengliklarni hosil qilamiz
va
Har bir vektor uchun vektor vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan, uzunligi esa ning uzunligiga teng vektordir. Vektorlarni qo‘shish qoidasiga ko‘ra tenglikni hosil qilamiz.
Beshinchi xossani isbotlash uchun va vektorlarning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirib, ular yordamida quyidagi parallelogrammni hosil qilamiz.

Berilgan son uchun va vektorlarga qurilgan parallelogramm parallelogrammga o‘xshashdir. SHuning uchun uning diagonali uzunligi parallelogramm diagonali uzunligidan marta “kattadir”. Bundan esa tenglikni hosil qilamiz.

Oltinchi xossani isbotlash uchun va hollarni qaraymiz. Birinchi holda va sonlarining ishorasi bir xil bo‘ladi. SHuning uchun ularning ikkalasi ham yoki manfiy yoki musbat bo‘ladi. Biz ularning ikkalasi ham manfiy bo‘lgan holni qaraylik. Bu holda , vektorlar vektorga qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘ladi. Demak ular bir xil yshnalishga ega. Ularning uzunliklari esa ga tengdir. Agar va sonlari musbat son bo‘lsa, yuqoridagi mulohaza takrorlanadi. va sonlarining ishoralari har xil bo‘lsa biz yana ikkita holni qaraymiz:
va . bo‘lganda , , vektorlar vektor bilan bir xil yo‘nalishga ega. vektorning boshini vektorning oxiriga joylashtirib, ularning uzunliklari ham tengligini ko‘ramiz. CHizmaga qarang. Qolgan hollar yuqoridagidek mulohazalar asosida tekshiriladi.
Ta’rif-1.4. Bir to‘g‘ri chiziqqa parallel vektorlar kollinear vektorlar deyiladi.
Vektorlar bir xil yo‘nalishga ega bo‘lsa ko‘rinishda, agar qarama-qarshi yo‘nalishga ega bo‘lsa ko‘rinishda belgilaymiz.
Tasdiq- 1.1.Nol vektordan farqli vektorlar kollinear bo‘lishi uchun son mavjud bo‘lib, tenglikning bajarilishi zarur va etarlidir.
Isbot. Vektorlar uchun shart bajarilsa, vektorlar kollinearligini isbotlash sodda bo‘lganiligi uchun uni isbotlashni o‘quvchilarga havola etamiz. Bu shartninig zarurligini ko‘rsatamiz. Agar vektorlar kollinear bo‘lsa, ularni parallel ko‘chirish natijasida bitta to‘g‘ri chiziqqa joylashtirish mumkin. SHuning uchun ular to‘g‘ri chiziqda yotadi va ularning boshi nuqtada deb hisoblaymiz. Agar vektorlar bir xil yo‘nalishga ega bo‘lsa uchun tenglik bajariladi. Agar vektorlar qarama qarshi yo‘nalishga ega bo‘lsa uchun tenglik bajariladi.
Ta’rif-1.5. Vektor ( -vektor) yotgan to‘gri chiziq tekislikka parallel bo‘lsa, vektor tekislikka parallel deyiladi.
Ta’rif-1.6. Uchta vektorlar bitta tekislikka parallel bo‘lsa, ular komplanar vektorlar deyiladi.
Tabiiyki, agar vektorlar komplanar bo‘lsa, ularni parallel ko‘chirish natijasida bitta tekisllikka joylashtirish mumkin.