I. A. Karimov Respublikamizda ta'lim va tarbiya sohasidagi islohotlar bugungi dolzarb, ertangi taqdirmizni hal qiluvchi muammoga aylanmoqda. Jamiyatimizning yangilanishi, hayotimiz taraqqiyoti va istiqboli, amalga

2.Chiziqli erkli va chiziqli bog’lanishli vektorlar oilasi
Bizga vektorlar oilasi va ta sonlar berilgan bo‘lsa, vektor vektorlarning chiziqli kombinasiyasi deb ataladi. CHiziqli kombinasiyada qatnashayotgan sonlarning birortasi noldan farqli bo‘lsa, u notrivial chiziqli kombinasiya deb ataladi.
Ta’rif-2..1. Berilgan vektorlar oilasi uchun kamida bittasi noldan farqli bo‘lgan sonlar mavjud bo‘lib,

tenglik o‘rinli bo‘lsa, vektorlar oilasi chiziqli bog‘lanishli deyiladi.
Izoh. Vektorlar oilasi chiziqli bog‘lanishli bo‘lsa, uning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo‘ladi.
Teorema-2.1. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog‘lanishli bo‘lishi uchun bu oila vektorlarining kollinear bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli ikkita va vektorlar chizikli bog‘lanishli bo‘lsa, kamida bittasi noldan farqli sonlari mavjud bo‘lib, tenglik bajariladi. Agar bo‘lsa, tenglikni hosil qilamiz. Bu esa birinhi tasdiqqa ko‘ra va vektorlarning kollinear ekanligini ko‘rsatadi.
Va aksincha, va vektorlar kollinear bo‘lsin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to‘gri chiziqda yotadi. Bu to‘gri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va V harflar bilan belgilaymiz: , . Vektorlardan bittasi, misol uchun noldan farqli vektor bo‘lsin. Demak, va nuqta kesmani biror nisbatda bo‘ladi: yoki
Endi =- tenglikni ko‘rsatamiz. Agar vektorlar yo‘nalishi bir xil bo‘lsa, nuqta kesmaga tegishli emas va 0. Agar vektorlar yo‘nalishi qarama-qarshi bo‘lsa, >0 bo‘ladi. SHuning uchun va - vektorlarning yo‘nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng:
 = =  =  =- .
Demak, bu vektorlar tengdir. Endi =- tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Demak, va vektorlar chiziqli bog‘lanishli oilani tashkil qiladi.
Teorema-2.2.

1. 
   Vektorlar oilasiga nol vektor tegishli bo‘lsa, bu oila chiziqli bog‘lanishlidir.
   
2. 
   Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog‘lanishli vektorlar oilasini o‘z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog‘lanishlidir.
   

Isbot.

1. 
   Berilgan oilada bo‘lsa, , =1 , sonlar uchun tenglik o‘rinli bo‘ladi.
   
2. 
   Berilgan oilada bir nechta , , vektorlar chiziqli boglanishli oilani tashkil qilsa, ularning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo‘ladi:
   

Biz agar , va , tengliklar bilan n ta ₁, ₂, ₃,..., _n sonlarni aniqlasak

tenglikni hosil qilamiz.
Teorema-2.3. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog‘lanishli bo‘lishi uchun ularning komplanar bo‘lishi zarur va etarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli uchta va vektorlar chiziqli bog‘lanishli bo‘lsa, ularning komplanarligini isbotlaymiz. CHiziqli bog‘lanishlilikning ta’rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli , , sonlar uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Aniqlik uchun g noldan farqli bo‘lsin, unda avvalgi tenglikdan
=– –
tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ=/ , μ= / belgilashlarni kiritib =λ tenglikni hosil qilamiz Agar va vektorlarning boshi bitta umumiy O nuqtaga joylashtirilgan bo‘lsa, oxirgi tenglikdan vektor va vektorlarga qurilgan parallelogarmm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir.
Va aksincha, va vektorlar komplanar bo‘lsin. Ular chiziqli bog‘liqligini isbotlaymiz.

1.