I bob. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar halqasi 1-§. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar

1.2-§. KO‘PHADLAR USTIDA AMALLAR
Faraz qilaylik, - darajali ko‘phad bilan bo‘lgan
(1.3)
ko‘phad ham berilgan bo‘lsin. Bunday holda ikkita va ko‘phadning yig`indisi deb,

ko‘phadni tushunamiz. Bu yerda bo‘lib, bo‘lganda deb, da esa deb olinadi. Yana shuni ta`kidlaymizki, va yig`indi ko‘phadning darajasi qo‘shiluvchi ko‘phadlar darajasidan katta emas. Haqiqatan, agar bo‘lsa, yig`indining darajasi qo‘shiluvchi ko‘phadlar darajasidan hatto kichik ham bo‘lishi mumkin.
Ko‘phadlar to‘plamida ayirish amali o‘rinli. Bu to‘plamda nol element sifatida nol ko‘phad qaraladi. ko‘phad uchun qarama-qarshi element

dan iborat.
Endi tenglik bajariladi deb qarab, ikkita va ko‘phadning ko‘paytmasi tushunchasini kiritamiz. Ikkita va ko‘phadlarning ko‘paytmasi deganda koeffisientlari

tenglik bilan aniqlanuvchi ko‘phadni tushunamiz. Bu yerda
,

ko‘phadlarning koeffisientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lgani uchun va bo‘lganda bo‘lib, va darajali ko‘phadlar ko‘paytmasining darajasi shu ko‘phadlarning darajalari yig`indisiga teng bo‘ladi.
Biz bundan buyon darajali bir noma`lumli ko‘phadlar to‘plamini deb belgilaymiz.
1.1-teorema. Bir noma`lumli ko‘phadlar to‘plami butunlik sohasini tashkil qiladi.
Isboti. Ikkita ko‘phad yig`indisi va ko‘paytmasi yana ko‘phaddan iborat ekanligini biz yuqorida ko‘rib o‘tdik. Endi ko‘phadlar to‘plami uchun halqaning boshqa shartlari bajarilishini ko‘rsatamiz, chunki butunlik sohasini qism halqadan iboratligi bizga ma`lum.
1. Haqiqatan, agar va larni yuqoridagicha aniqlasak, quyidagilar bajariladi:

bo‘lgani uchun


ya`ni ko‘phadlarni qo‘shish kommutativdir.
2. (ko‘paytirish amali kommutativ).
Ko‘phadlarning koeffisientlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lganiga ko‘ra

bo‘lgani tufayli bajariladi. Yuqorida ko‘rib o‘tganimizdek, va bo‘lganda . Demak,

ko‘phad ham nolga teng emas. Demak, to‘plam nolning bo‘luvchilariga ega emas.
3. Ko‘phadlar ko‘paytmasi assotsiativdir, ya`ni
(1.4)
Bu tenglikni isbotlash uchun bo‘lganda

deb olamiz. va lar mos ravishda darajali bo‘lganida ko‘phaddagi ning koeffisiyenti

yig`indi orqali aniqlasa, ko‘phaddagi ning koeffisiyenti esa

yig`indi orqali aniqlanadi. Ularning tengligiga asosan (1.4) tenglik ham chindir.
4. va ko‘phadlarni ko‘paytirish qo‘shish amaliga nisbatan distributivdir, ya’ni
(1.5)
Bu qonunning chinligi

tenglik yordamida isbotlanadi. Chunki bu tenglikning o‘ng tomoni

yig`indidagi larning koeffisiyentlaridan, chap tomoni esa

dagi ning koeffisiyentlaridan tuzilgan.
Yuqoridagi xossalardan quyidagilar kelib chiqadi.
I. da bir noma`lumli bir necha ko‘phadlar yig`indisi tushunchasini kiritish mumkin. Buning uchun induktiv metoddan foydalanamiz, ya`ni halqada uchta ko‘phadlar yig`indisi deganda biz

ni tushunamiz.
To‘rtta ko‘phad yig`indisi ham aynan shu usulda beriladi. Umuman, ta ko‘phad yig`indisi tushunchasini ham qo‘shishning assotsiativligidan foydalanib kirita olamiz, ya`ni dastavval ta ko‘phad yig`indisi ni aniqlab, uning yordamida ta ko‘phadning yig`indisi

kabi aniqlanadi.
Yuqoridagi ko‘rsatganimizdek, har bir hadni ko‘phad deb qarash mumkin. Ko‘phadlarni qo‘shish assotsiativ bo‘lgani tufayli

ni noma`lumning darajalarini pasayishi tartibida ham yozsa bo‘laveradi. Bunday holda ko‘phad almashtirish yordamida

ko‘rinishini oladi.
dan olingan va lar hamda uchun bo‘lgani va tenglikka binoan simvollarni biz noma`lumning darajalari deb qarashimiz mumkin. Haqiqatan,


va hokazo. Bulardan tashqari, butunlik sohasidan olingan istalgan elementni bo‘lgani tufayli nolinchi darajali ko‘phad, ni esa ixtiyoriy birhad deb qarab, ko‘phadlarni ko‘paytirish mumkin. Ko‘paytiish da komutativ bo‘lgani tufayli ham bajariladi.
Demak, koeffisiyentlari butunlik sohasiga tegishli bo‘lgan noma`lumli ko‘phadlar to‘plami kommutativ halqa ekan. Bundan tashqari, agar (1.2) va (1.3) da va desak, bulardan bo‘lib, ularning ko‘paytmasi bo‘lmish

bo‘ladi, chunki Demak, halqa butunlik sohasidan iborat ekan.
1.4-ta`rif. Agar ko‘phadlarning koeffisiyentlari biror maydonga tegishli bo‘lsa, ga maydon ustida qurilgan ko‘phadlar halqasi (butunlik sohasi) deyiladi.
1.5-ta`rif. Agar , ko`phadlar uchun tenglikni qanoatlantiruvchi ko`phad mavjud bo`lsa, u holda ko`phad ko`phadga bo`linadi deyiladi va ushbu munosabat orqali yoziladi. tenglikdagi ko`phad bo`linuvchi yoki ko`phadga karrali ko`phad, ko`phad ko`phadning bo`luvchisi, ko`phad esa bo`linma deb yuritiladi.
Ravshanki, agar ikkita ko`phad umumiy bo`luvchiga ega bo`lsa, u holda ularning yig’indisi, ko`paytmasi va karralilari ham shu bo`luvchiga ega.
1.2-teorema. (qoldiqli bo`linish haqida teorema). , ko`phadlar uchun tenglikni qanoatlantiradigan va ko`phadlar mavjud ( to`liqsiz bo`linma, esa ni ga bo`lganda hosil bo`lgan qoldiq deb yuritiladi)
Isbot. orqali ko`rinishdagi ko`phadlar to`plamini belgilay–miz. Qo`yidagi ikki hol ro`y berishi mumkin:
1) 2)
1–holda shunday mavjudki, u uchun tenglik bajariladi. deb olsak teorema isbotlanadi.
2– holda shunday mavjudki, uning darajasi eng kichik bo`ladi va tenglikni qanoatlantiradi.
Endi biz tengsizlik bajarishini ko`rsatamiz.
Agar

bo`lsa, u holda bo`lgani uchun bo`ladi. Ushbu

ko`rinishdagi ko`phad uchun

munosabatlar o`rinli. Bu esa ni ta’rifiga zid.
bo`lsa, u holda tenglik bajariladi. bo`lgani uchun tenglik bajariladi. Bu esa tengsizlikka zid. Demak, tenglikni qanoatlantiradigan yagona va ko`phadlar mavjud.
1.6-ta’rif. ko`phad berilgan bo`lsin. Agar ko`phad ko`phadga bo`linib, ko`phadga bo`linmasa , u holda ko`phad ko`phadning – karrali bo`luvchisi , esa bo`luvchining karrallik belgisi deyiladi.
Ravshanki, ko`phad ko`phadning – karrali bo`luvchisi bo`lishi uchun bo`lishi zarur va etarli, bu yerda ko`phad ko`phadga bo`linmaydi.
1.7-ta’rif. ko`phadning nuqtada qiymati deb songa aytiladi.